Inequidad en el ingreso y segregación urbana.
Una aproximación modélica

INEQUIDAD EN EL INGRESO
Y SEGREGACIÓN URBANA.
UNA APROXIMACIÓN MODÉLICA

ANTONIO AGUILERA ONTIVEROS

FICHA CATALOGRÁFICA DE LA VERSIÓN IMPRESA

304.6021

A283i

Aguilera Ontiveros, Antonio

Inequidad en el ingreso y segregación urbana. Una aproximación modélica /

Antonio Aguilera Ontiveros. — 1ª edición. — San Luis Potosí, San Luis Potosí :

El Colegio de San Luis, 2014.

122 páginas : ilustraciones; 23 cm. – (Colección Investigaciones)

Incluye bibliografía (páginas 113-122)

ISBN: 978-607-9401-29-7

1.- Segregación – Aspectos económicos – Modelos matemáticos

2.- Discriminación en los alojamientos – Modelos matemáticos

3. Autómatas celulares I. t. II. s.

Este trabajo fue parcialmente apoyado por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) de México a través del proyecto 101366.

Diseño de portada: Natalia Rojas Nieto

Diseño interiores y traducción ePub: Ernesto López Ruiz

Primera edición: 2014

D.R. © Antonio Aguilera Ontiveros

© El Colegio de San Luis

Parque de Macul 155

Colinas del Parque

San Luis Potosí, S. L. P., 78299

ISBN: 978-607-9401-85-6

Impreso y hecho en México

ÍNDICE

Lista de Figuras

Prefacio

P. 1.Preliminares: modelos matemáticos de fenómenos urbanos

P. 2.El problema: la segregación residencial

P. 3.Objetivo: la emergencia de la segregación residencial debida a la inequidad en el ingreso económico

P. 4.Hipótesis del trabajo: el estatus económico como causa de la segregación

P. 5.Metodología: modelado de fenómenos urbanos basados en autómatas celulares

P. 6.Estructura del libro

Capítulo 1: La organización espacial en la naturaleza y en las sociedades

1.1.La complejidad y los patrones espaciales

1.2.Patrones espaciales en sistemas urbanos

1.3.Medidas de patrones espaciales en la geografía

Capítulo 2: Modelos de dinámica urbana

2.1.¿Qué es un modelo de dinámica urbana?

2.2.El modelo de Lowry

2.3.El paradigma de la auto-organización y el modelo de Allen

2.4.Modelos de interacción espacial

2.5.La ecología matemática de las ciudades

2.6.Modelos urbanos basados en autómatas celulares

Capítulo 3: Modelos sociales basados en autómatas celulares

3.1.Conceptos básicos

3.2.Dos maneras de formalizar un autómata celular

3.3.Clasificación de los autómatas celulares: las clases de Wolfram

3.4.Autómatas celulares aplicados al modelado de fenómenos físicos

3.4.1.El modelo de Ising

3.4.1.1.Lattice gas

3.4.1.2.Modelo de intercambio de spines de Kawasaki

3.5.Autómatas celulares aplicados a los fenómenos sociales

3.5.1.El modelo de segregación residencial de Schelling

3.5.2.El modelo de segregación residencial de Sakoda

3.5.3.Modelos de decisión colectiva

3.5.4.Modelos de votación

3.5.5.El modelo de Sznajd-Weron

3.5.6.El autómata celular de la regla de la mayoría

3.5.7.El modelo de White

3.6.Herramientas analíticas para entender los modelos de autómatas celulares

3.6.1.Orden, desorden y entropía

3.6.1.1.Entropía de patrones espaciales

3.6.2.Transiciones de fase en los sistemas sociales

3.6.2.1.Un marco para el análisis de las transiciones de fase en un sistema social

3.6.3.El método de Monte Carlo para el estudio de los autómatas celulares

3.6.3.1El algoritmo de Metropolis

Capítulo 4: Explicaciones acerca de la segregación residencial

4.1.Conceptos básicos

4.2.La dimensión económica de la segregación

4.2.1.La explicación de la oferta

4.2.2.La explicación de la demanda

4.3.Medidas de segregación residencial

4.3.1.Índices tradicionales de disimilaridad

4.4.La inequidad en el ingreso: cuestiones teóricas y medidas

4.4.1Medidas de inequidad

4.4.1.1.Coeficiente de Gini

4.4.1.2.La entropía de Theil

Capítulo 5: Un modelo espacialmente extendido de segregación urbana

5.1.Estructura del modelo

5.2.Herramientas analíticas

5.3.Comportamiento asintótico del modelo

5.3.1.Crítico

5.3.2.Una estimación a priori de

5.3.3.Una estimación a priori para en

Capítulo 6: Estudio de simulación

Resumen y conclusiones

Bibliografía

LISTA DE FIGURAS

Figura P.1.Curva de inequidad-segregación de acuerdo a Morrison et al

Figura 1.1.Formación de patrones espaciales debido al proceso de convección de Bénard

Figura 1.2.La ola (ola mexicana)

Figura 1.3.Berlín: ejemplo de un patrón espacial urbano

Figura 1.4.Ejemplo de patrón espacial generado por los usos de suelo

Figura 1.5.Ejemplo de un patrón de segregación residencial

Figura 2.1.Ejemplo de una bifurcación

Figura 3.1.Vecindades de Neumann, Moore y Moore extendida, respectivamente

Figura 3.2.Modelo bidimensional de Ising. Cada sitio de red tiene un spin, representado por una flecha

Figura 3.3Configuraciones típicas del Modelo de Schelling

Figura 3.4.La dinámica de la segregación del modelo de Sakoda

Figura 3.5.Gráfica del autómata celular de la regla de la mayoría

Figura 3.6.El modelo de usos de suelo de White

Figura 3.7.Análisis del equilibrio

Figura 3.8.Cambios en F(x) y el cambio resultante del punto de equilibrio

Figura 4.1.Filtrado por precio y calidad llevan a perder rentabilidad

Figura 4.2.Curva oferta-renta para los tres usos de suelo

Figura 4.3.Curva oferta-renta para familias de altos ingresos y familias de bajos ingresos

Figura 4.4.Distribución concéntrica de los individuos en una ciudad virtual

Figura 4.5.Distribución aleatoria de individuos en una ciudad virtual

Figura 4.6.Distribución concéntrica de agentes divididos en cuatro áreas

Figura 4.7.Distribución aleatoria de agentes divididos en cuatro áreas

Figura 6.1.Distribución asintótica de agentes para diferentes valores de en el enrejado 64×64. Aquí y En rojo los agentes ricos, en blanco los agentes de ingresos medios y en azul los agentes pobres

Figura 6.2.Evolución del índice de segregación . Se muestran dos experimentos en el enrejado de 64×64, para una distribución de agentes con índice de inequidad I=0.5 y . La línea horizontal en verde corresponde a , la línea en azul fue calculada con y la línea en rojo fue obtenida usando

Figura 6.3.En rojo, con barras de error, como una función del índice de inequidad de Theil, I. En azul , también como una función de I. Ambas curvas corresponden al conjunto regular con en el enrejado 64×64

Figura 6.4.En rojo, con barras de error, , como una función como una función de I. En azul también como una función de I. Ambas curvas corresponden al conjunto regular con en el enrejado 128×128

Figura 6.5.En rojo, con barras de error, , como una función como una función de I. En azul también como una función de I. Ambas curvas corresponden al conjunto en el enrejado 64×64

Figura 6.6.En rojo con barras de error como una función del índice de inequidad de Theil. En azul, , también como una función de I. Ambas curvas corresponden el conjunto en el enrejado 128×128

Figura 6.7.En rojo, con barras de error, el índice de segregación como una función de I. En azul también como una función de I. Estas curvas de inequidad-segregación corresponden al conjunto , con , en el enrejado 64×64

Figura 6.8.En rojo la curva de inequidad-segregación. es función de I. Aquí el índice de segregación es graficado con sus barras de error. En azul , también como una función de I. Ambas curvas corresponden al conjunto , con en el enrejado 128×128

Figura 6.9.En rojo, el índice de segregación , con sus respectivas barras de error, como una función de I. En azul como una función del índice de inequidad de Theil, I. Ambas curvas corresponden al conjunto en el enrejado 64×64

Figura 6.10.En rojo, el índice de segregación , con sus respectivas barras de error, como una función de I. En azul como una función del índice de inequidad de Theil, I. Ambas curvas corresponden al conjunto en el enrejado 128×128

PREFACIO

P. 1. PRELIMINARES: MODELOS MATEMÁTICOS
DE FENÓMENOS URBANOS

Las ciudades son producto de la acción humana, tanto individual y colectiva, sobre el espacio geográfico. Las ciudades son asentamientos de seres humanos que viven en comunidad y comparten no solo un conjunto de servicios colectivos, sino también una idiosincrasia y cultura, y un sentido de pertenencia también único. En la ciudad, los seres humanos llevan a cabo una gran diversidad de actividades sociales, económicas, políticas y culturales. A consecuencia de estas acciones, cada ciudad en el mundo tiene un conjunto de características específicas generadas por sus habitantes que las hace únicas e irrepetibles.

Para entender la ciudad podemos usar dos enfoques (Phillips, 1996: 7). El primer enfoque es el conocimiento que se tiene sobre la ciudad y está relacionado con la experiencia cotidiana que se tiene con la ciudad. Cada uno de nosotros puede tener conocimiento de la ciudad, paseando por sus calles, yendo de compras en sus mercados, disfrutando de sus parques públicos o batallando con el tráfico. Esta experiencia nos da las habilidades necesarias para vivir en un entorno urbano.

El segundo enfoque es el conocimiento que tenemos sobre la ciudad. Este modo de comprensión se sustenta en el pensamiento abstracto y lógico sobre la ciudad y sus procesos. Dicho conocimiento se basa en teorías analíticas y racionales sobre la ciudad. Por lo anterior, nuestro conocimiento sobre la ciudad se desarrolla desde un punto de vista académico. En este contexto, la ciudad es el objeto de estudio de una amplia gama de disciplinas tales como la geografía, la economía, la sociología, las ciencias políticas, la antropología, la historia, la psicología social, la administración pública, los estudios ambientales, la literatura y las artes (Phillips, 1996: 28-55).

Dentro de estos enfoques disciplinarios, la pertinencia de los modelos matemáticos para conocer la ciudad aparece claramente en la geografía (Alonso, 1964; Batty, Longley y Shepherd, 1999; Clarke y Wilson, 1985; Olsson, Malm y Wärneryd, 1997; Wilson, 1980; 2001) y la economía (Henderson, 1974; Krugman , Fujita y Venables, 2001; Meardon, 2001; Meen, 2001). Sin embargo, el enfoque matemático sobre la ciudad es sólo marginal en la sociología (Massey y Fisher, 2000; Santiago y Galster, 1995; Smith, 1976), o nulo como en las ciencias políticas y la administración pública. En los ejemplos anteriores, los modelos matemáticos están relacionados con la estructura espacial de las ciudades.

El uso de modelos matemáticos de la ciudad se puede separar en dos periodos teóricos principales. El primero es el periodo positivista, y que va de alrededor de 1950 hasta alrededor de 1970. En este período, las teorías y explicaciones teóricas se basaron en modelos estáticos, y la búsqueda del equilibrio entre dos factores concurrentes fue el aspecto predominante de la investigación. Estos enfoques estáticos dieron sólo una explicación descriptiva de cómo varios de los procesos económicos y sociales podrían interactuar. Por supuesto, el enfoque del equilibrio para el estudio de los sistemas urbanos es aceptable solamente si hay poco o nulo cambio en el sistema. Pero, los sistemas urbanos se encuentran en una constante transformación y el enfoque del equilibrio resultó de poca utilidad. La segunda era de los estudios urbanos se inició con la advenimiento de los trabajos seminales de Forrester (1969), Moody, (1970), Howrey, Oates y Aumol (1971) y Land (1970) quienes empiezan a utilizar el formalismo de las ecuaciones diferenciales para modelar la dinámica urbana. Fue dentro de esta tradición que los conceptos de las ciencias no lineales, tales como la catástrofe y la bifurcación, se introdujeron en la modelización dinámica urbana en las obras de Wilson (citado en Batty, 2005: 4) y Allen (1997) y Allen y Sanglier (1972). Una observación importante acerca de estos esfuerzos es que utilizan un enfoque de arriba hacia abajo (top-bottom) es decir, una visión de conjunto del sistema sugiere variables macroscópicas, para los cuales se formula una ecuación paramétrica. Posteriormente, los enfoques microscópicos basados en el comportamiento individual de los habitantes de las ciudades complementaron el enfoque macroscópico de los sistemas urbanos. Es en este contexto en que surgió el enfoque de los autómatas celulares.

El uso de autómatas celulares (CA) para el estudio de temas urbanos entra en la tradición de la modelización dinámica de los fenómenos urbanos. Este enfoque se inició con el trabajo seminal de Tobler (1979). La idea subyacente de la utilización de un CA al modelar una ciudad es el siguiente:

Las ciudades en particular y el desarrollo urbano en general, surgen de acciones que se dan de abajo hacia arriba (bottom-up) y el orden espacial que vemos a escalas más agregadas sólo puede explicarse de esta manera. La forma de simular la aparición de tales patrones espaciales es representando los elementos básicos de la ciudad a través de la celdas que representan la estructura física y espacial de la ciudad y a través del uso de agentes que representa los seres humanos y las unidades sociales que hacen que la ciudad funcione (Batty, 2005: 6 ).

En esta tradición académica, los modelos de autómatas celulares se han utilizado para explorar la complejidad espacial de la ciudad, y también como modelos abstractos para la comprobación de hipótesis y teorías sobre los fenómenos urbanos. Los modelos de autómatas celulares se utilizan principalmente para relacionar fenómenos geográficos y económicos, y desde 1972 los modelos de este tipo han sido considerados en el estudio de un problema específico en la sociología, esto es, la segregación residencial. Los modelos de tablero de ajedrez de la segregación residencial desarrollados por Schelling (1969, 1971, 1978) y Sakoda (1971) son el punto de partida de nuestro estudio de la segregación, y la formación de patrones en la ciudad.

P. 2. EL PROBLEMA: LA SEGREGACIÓN RESIDENCIAL

La segregación residencial es el grado en el que dos o más grupos viven por separado uno de otro en diferentes partes del espacio urbano (Massey y Denton, 1988: 282). Este fenómeno es simultáneo a varios problemas sociales como la concentración de bajas oportunidades para obtener un trabajo bien remunerado, el bajo desarrollo académico en niños de áreas segregadas, la paternidad prematura entre los jóvenes, y la aparición de conducta delictiva (Gross, Massey y Eggers, 1991; Gross, Massey y Shibuya, 1994) .

La segregación residencial ha sido objeto, durante muchos años, de una amplia investigación en las ciencias sociales. Es un fenómeno multifactorial determinado principalmente por causas socioeconómicas como la raza y la distribución del ingreso, así como los elementos asociados a la estructura del espacio urbano (Cloutier, 1982; Gross, Massey y Eggers, 1991; Gross, Massey y Shibuya, 1994; Jargoswsky, 1996; Massey, 1979; White, 1983). Existen dos enfoques cuantitativos principales para el estudio de la segregación residencial. El primero es de tipo fenomenológico, el cual se basa en el uso de medidas e índices (Duncan y Duncan, 1955; Jakubs, 1981; Jargowksky y Kim, 2005; Massey y Denton, 1988; Sakoda, 1982; Sullivan y Wong, 2007; White, 1983; White, Massey y Eggers, 1996; Wong, 1993) para caracterizar la segregación en una ciudad dada. El segundo es el enfoque teórico, basado en modelos computacionales o matemáticos que tratan de explicar el por qué de la segregación (Aguilera y Ugalde, 2007; Benenson, 1998; Benenson, Portugali y Omer, 1997; Clark, 1991; Fosset, 1999, 2003; Gross, Massey y Eggers, 1991; Gross, Massey y Shibuya, 1994; Lieberson y Carter, 1982; Macgill, O’Sullivan y Yu, 2003; Massey, 1979; Massey, 1990; Massey y Denton, 1985; Omer, 1999; Schelling, 1969, 1971, 1978; White, Massey y Phua, 1996; Wong, 2002; Zhang, 2004 .

Dos niveles de análisis pueden ser considerados en el estudio de la segregación residencial. En el nivel macro, varias transformaciones estructurales en la sociedad, tales como cambios en el nivel de ingreso, la tendencia a la exclusión racial y los niveles de integración social, se asumen como determinantes de la concentración espacial de la pobreza. Este es el nivel de análisis en Cloutier, 1982; Gross, Massey y Shibuya, 1994; Jargowsky, 1996; Massey y Fisher, 2000. A nivel micro, comportamientos individuales discriminatorios relacionados con características individuales tales como el sexo, la edad, la religión, el grupo étnico, la nacionalidad, influyen en la elección de un lugar para vivir. Este es el punto de vista en Benenson, Portugali, 2000; Portugali y Omer, 1997; Clark, 1991; Schelling, 1969, 1971; 1978 y es el punto de vista que se adoptó en este trabajo.

La segregación espacial es un proceso que genera comportamiento emergente que conduce a la formación de patrones espaciales en la ciudad. Este comportamiento emergente se observa en los modelos sugeridos por Sakoda (citado en Batty, 2005: 51-57), Sakoda (1971), Hegselmann y Falche (1997) y Schelling (1969, 1971; 1978). La formación de patrones se asocia con la auto-organización del sistema, entendiendo esto como la transformación de su estructura interna de forma espontánea e independientemente de las causas externas. En este trabajo se estudia la aparición de este fenómeno emergente en la segregación residencial.

P. 3. OBJETIVO: LA EMERGENCIA
DE LA SEGREGACIÓN RESIDENCIAL DEBIDA
A LA INEQUIDAD EN EL INGRESO ECONÓMICO

El punto de partida de esta investigación es la teoría propuesta por Gross, Massey y Eggers (1991), quienes argumentan que el grado de segregación espacial experimentado por una sociedad se incrementa con su nivel de inequidad económica. La inequidad en el ingreso es la brecha entre la distribución del ingreso entre los agentes participantes de una economía particular. Esta relación ha sido reformulada por Callister, Morrison y Rigby (2003) como la curva segregación-inequidad (véase figura P.1).

Figura P.1. Curva de segregación-inequidad, adaptada de Callister, Morrison y Rigby (2003).

El objetivo de este trabajo es construir un modelo espacialmente extendido del tipo sugerido por Shelling para explorar los posibles mecanismos detrás de la emergencia de la segregación residencial bajo los supuestos de que es un fenómeno asociado a la inequidad en el ingreso. Para esto se procede a:

Discutir las nociones de auto-organización y su relevancia en el estudio de la segregación residencial.

El desarrollo de un modelo de dinámica urbana que sirva de laboratorio para explorar la relación entre la segregación residencial y la inequidad en el ingreso.

El desarrollo de una técnica para el análisis de la auto-organización en el modelo.

La aplicación de la técnica de análisis en conjunto con el modelo en función de verificar experimentalmente la curva de segregación-inequidad.

P. 4. HIPÓTESIS DEL TRABAJO: EL ESTATUS ECONÓMICO COMO CAUSA DE LA SEGREGACIÓN

La investigación está basada en las siguientes hipótesis generales (Massey, 1979, 1990; Massey y Denton, 1985; Massey y Fisher, 2000).

Las disparidades económicas intergrupos, junto con la separación geográfica de áreas con diferentes rangos de precios generan la separación espacial.

La población de bajos ingresos vive predominantemente en áreas caracterizadas por vivienda barata, debido a que son incapaces de costear los altos costos de vivir en zonas caracterizadas por vivienda de alto costo.

Se postula un mecanismo de realimentación, el cual consiste en que la concentración de personas con un estatus económico específico en un área geográfica provoca un incremento o un decremento de los precios de las casas en dicha área.

P. 5. METODOLOGÍA: MODELADO DE FENÓMENOS URBANOS BASADOS EN AUTÓMATAS CELULARES

Los autómatas celulares, en un sentido amplio, son sistemas dinámicos discretos que evolucionan de acuerdo a reglas especificadas, al menos en parte, por relaciones locales. Los autómatas celulares deterministas, con evolución completamente determinada por una regla local han sido usados como modelos de fenómenos urbanos desde 1979 (Tobler, 1979). Hoy en día, los autómatas celulares son reconocidos como marcos formales para el modelado urbano (Benenson y Torrens, 2004) y son ampliamente usados para explorar dinámicas urbanas, (para una buena recopilación del uso de los autómatas celulares véase Batty, 2005). Entre las ventajas del uso de los autómatas celulares como modelos urbanos están (Benenson y Torrens, 2004: 3-4):

La capacidad de manejar entidades espaciales. Los modelos diseñados con autómatas celulares están orientados hacia objetos espaciales tales como casas, comercios y sistemas de transporte.

La habilidad de manejar relaciones espaciales. Los modelos consideran interacciones como una salida del comportamiento de objetos geográficos elementales.

El manejo del tiempo. Al ser dinámicos, este tipo de modelos trabajan con el tiempo de una manera natural.

Otra ventaja de la aproximación con autómatas celulares es su simplicidad, la cual permite capturar la fenomenología esencial del sistema bajo estudio en un nivel abstracto. Esto es un recurso metodológico para encontrar qué características del sistema, son realmente relevantes.

El modelo que se propone en este trabajo es una adaptación del modelo desarrollado por Benenson (1998); Benenson, Portugali y Omer, (1997) y Portugali (2000). Dicho modelo ha sido modificado para considerar un mecanismo de intercambio de población basado en el modelo de Schelling. La metodología es como sigue:

Primero se construyó un modelo computacional de un autómata celular. Dicho modelo es un programa desarrollado en Matlab ver. 7.0.

Se desarrolló un conjunto amplio de experimentos numéricos. Comenzando con configuraciones iniciales aleatorias. El uso de configuraciones aleatorias es de uso común en el área de la simulación. Sin embargo, no es muy realista desde el punto de vista de que las ciudades ya tienen una estructura espacial previa. Ya que nosotros estamos más interesados en el surgimiento de patrones espaciales bajo las reglas dadas de nuestro modelo, consideramos que no era necesario y prudente usar configuraciones iniciales distintas a las aleatorias. Después, se dejaba evolucionar al autómata hasta que finalmente alcanzaba un estado estable. Se generó un numeroso conjunto de experimentos en función de obtener ensambles estadísticos de las configuraciones finales.

Finalmente, producto del análisis de los experimentos, se formulan varias hipótesis respecto al comportamiento global del autómata. Se es capaz de dar estimaciones a priori de algunas cantidades relevantes involucradas en la descripción del comportamiento del autómata celular y se contrastan éstas con los resultados del estudio numérico.

La interpretación de los resultados en términos de la distribución de precios de las casas y la distribución espacial del estatus económico, permite entender la emergencia de la segregación residencial bajo el efecto de la inequidad en el ingreso.

P. 6. ESTRUCTURA DEL LIBRO

El texto está dividido en tres partes. La primera está dedicada a los antecedentes teórico-metodológicos. Éste está formado por cuatro capítulos. La segunda parte del texto contiene una detallada exposición de la contribución de este trabajo al estudio de la segregación residencial. Esta parte está dividida en dos capítulos. El primer capítulo contiene la descripción del modelo, seguido de un estudio teórico de algunas de las características del comportamiento asintótico del modelo. El segundo capítulo se enfoca en el estudio numérico del modelo y presenta tanto la descripción del estudio de simulación, como el análisis de los experimentos resultantes. Se finaliza con un capítulo de conclusiones, el cual contiene un resumen de los hallazgos y una discusión acerca del potencial del modelo como una herramienta explicativa.

CAPÍTULO 1

LA ORGANIZACIÓN ESPACIAL
EN LA NATURALEZA Y EN LAS SOCIEDADES

1.1. LA COMPLEJIDAD Y LOS PATRONES ESPACIALES

El estudio de la organización espacial o formación de patrones espaciales es un tema común en una gran diversidad de disciplinas científicas. Por ejemplo, es objeto de estudio en la química (Nicolis y Prigogine, 1977: 339-354), la física y la biología (Ben-Jacob y Cohen, 1997), la economía y las ciencias sociales (Grothe, 1997).

De una manera amplia y simple, la formación de patrones espaciales es un fenómeno a gran escala (identificado con estructuras espaciales) que emergen de ensambles de individuos en mutua interacción. Los estudios de formación de patrones espaciales tratan de generar explicaciones acerca de cómo las interacciones individuales generan patrones espaciales regulares en un nivel supra individual (Nicolis y Prigogine, 1977: 409). Por individuos se entienden diferentes clases de objetos, dependiendo del sistema bajo estudio. Por ejemplo, en un sistema químico, los individuos son las moléculas o los complejos de moléculas; en la biología, los individuos pueden ser células, pero también pueden ser hormigas o organismos biológicos más complejos; de hecho, en los sistemas sociales los individuos son los seres humanos u organizaciones humanas.

Un patrón espacial es una inhomogeneidad espacial con un grado de regularidad (Levin y Segel, 1985: 45). Puede también ser definido como el grado de homogeneidad en una región específica del espacio, con respecto al sistema completo. Otra definición está relacionada con el grado de segmentación de un medio espacial, esto es, existe un patrón si el medio puede ser separado en diferentes partes (objetos), las cuales conforman el medio espacial. En todas las definiciones, los patrones espaciales están relacionados con la habilidad del observador de distinguir una parte del espacio de otra.

Varios procesos naturales y sociales llevan a la formación de patrones espaciales. En la naturaleza el proceso de convección estudiado por Bénard es un ejemplo recurrente de la formación de patrones espaciales por un proceso de auto-organización (véase figura 1.1). En un contexto más social, la “ola” que se hace en los partidos de futbol es un ejemplo de patrón espacial generado por seres humanos (Farkas, 2002) (véase figura 1.2).

Figura 1.1. Formación de patrones espaciales debido al proceso de convección de Bénard.

Figura 1.2. La “ola” (ola mexicana).

La formación de patrones espaciales es una unívoca señal de auto-organización en el sistema, donde por auto-organización se entiende el fenómeno por el cual un sistema transforma, de forma espontánea e independiente de causas externas, su estructura interna. Los sistemas auto-organizados pueden exhibir comportamientos no lineales, inestabilidad, auto-similaridad y caos (Portugali, 2000: 49).

En este estudio son de interés los procesos de formación de patrones en los sistemas urbanos. Dichos sistemas están formados por individuos que exhiben un comportamiento complejo. De hecho, dichos individuos muestran autonomía, comportamiento orientado hacia metas, cooperación, competencia y la habilidad de transformar el espacio. Por supuesto, existen constreñimientos específicos sobre el comportamiento de los seres humanos, pero estos constreñimientos son auto-generados. Ejemplo de ellos son las instituciones políticas, económicas y sociales. Dichos constreñimientos no están fijos, sino que cambian con el tiempo en un proceso histórico.

En la siguiente sección, se explicará la visión con la que se abordan los sistemas urbanos, esto es, la ciudad y cómo las teorías de formación de patrones espaciales pueden ser útiles para entender no solo la formación de patrones espaciales dentro de dichos sistemas, sino también el comportamiento colectivo de los seres humanos en las ciudades.

1.2. PATRONES ESPACIALES EN SISTEMAS URBANOS

Los sistemas urbanos son un caso especial de sistemas de actividad humana con las siguientes características.

Son sistemas abiertos y complejos.

Son generados por individuos.

Son sistemas espaciales.

Son sistemas dinámicos.

Todos estos elementos juegan un papel importante en el interés académico de este trabajo sobre las ciudades. Dichos elementos son identificados como componentes de los sistemas auto-organizados. De hecho, Allen (1997) y Portugali (2002) han sugerido de forma independiente que las ciudades son sistemas auto-organizados.

El perfil espacial de las ciudades refleja las decisiones humanas sobre el espacio geográfico. Los seres humanos transforman el espacio geográfico natural en un artefacto llamado ciudad. Este artefacto es tan complejo en sus roles y funciones como los seres humanos que lo definen. Además de que los seres humanos son seres significantes, ya que ellos pueden reinterpretar el espacio de acuerdo a sus diferentes cosmovisiones y acciones. Este comportamiento complejo genera diferentes niveles de agregación espacial de los seres humanos que en un nivel macro da pie a un patrón espacial (Wilson, 2001).

El primer nivel de agregación espacial de un sistema urbano es el perfil espacial de la ciudad (véase figura 1.3). Éste es producto de diferentes acciones humanas sobre el espacio geográfico. Existen accidentes geográficos tales como ríos, montañas, cañadas, etcétera. Dichos accidentes geográficos son usados y transformados por los seres humanos para construir un perfil artificial. Por supuesto, las ciudades son artefactos históricos, esto determina que el perfil original es usado como un núcleo bajo el cual los estadios subsecuentes de la ciudad son construidos.

Un segundo nivel de agregación está relacionado con las actividades humanas en el espacio urbano. La ciudad muestra concentraciones específicas de acciones humanas en regiones particulares. Las actividades específicas son de tipo económico. Existe una organización lógica de estas actividades sobre el espacio urbano, mostrando aglomeraciones de industrias, actividades comerciales y zonas habitacionales en distritos específicos. Así, la residencia, la producción y el comercio son tres tipos de uso de suelo generalmente aceptados que generan patrones espaciales en la ciudad.

Figura 1.3. Berlín: ejemplo de un patrón espacial urbano.

Figura 1.4. Ejemplo de patrón espacial generado por los usos de suelo

Otro nivel de análisis de los patrones espaciales generados por la acción humana es el concerniente a las características socioeconómicas y étnicas de los individuos sobre el espacio urbano. Estos patrones espaciales son conocidos como segregación residencial (véase figura 1.5) y es un tópico importante en la sociología (Cloutier, 1982; Gross, Massey y Eggers, 1991; Gross, Massey y Shibuya, 1994; Jargowsky, 1996; Massey, 1979).

Figura 1.5. Ejemplo de un patrón de segregación residencial.

El anterior, es el nivel de análisis que se usará en este trabajo. Se está interesado en explorar la formación de patrones asociados al fenómeno de la segregación residencial. En el siguiente capítulo se detallará la motivación y objetivos de la investigación. Por ahora terminaremos enumerando algunas de las metodologías usadas para el análisis de la formación de patrones.

1.3. MEDIDAS DE PATRONES ESPACIALES
EN LA GEOGRAFÍA

Los patrones espaciales pueden ser analizados usando una gran variedad de métodos matemáticos. Estos métodos pueden agruparse en dos conjuntos (Harvey, 1968: 73-74):

Medidas relacionadas con la descomposición del patrón en componentes relacionados a algún sistema de coordenadas ortogonales.

Representación matricial de conjunto de datos y la aplicación de filtros suaves de datos.

El análisis de tendencia de la superficie y el almacenamiento de la información acerca del patrón espacial por medio de alguna expresión polinómica.

Análisis de Fourier bi-dimensional.

Análisis espectral bi-dimensional.

Representaciones específicas relacionadas a modelos estadísticos.

Muestreo de cuadrante.

Medidas de contigüidad.

Medidas del vecino más cercano.

Análisis de secuencia y teoría de la ocupación.

CAPÍTULO 2

MODELOS DE DINÁMICA URBANA

2.1. ¿QUÉ ES UN MODELO DE DINÁMICA URBANA?

Un modelo de dinámica urbana considera de forma explícita la dimensión temporal de los fenómenos y procesos urbanos. En la construcción de un modelo de esta naturaleza se consideran aspectos tales como:

Antecedentes teóricos que permitan relacionar el fenómeno bajo estudio con características espaciales y temporales. Por ejemplo, el número de habitantes en diferentes áreas de una ciudad en diferentes años.

Un conjunto de variables de estado. Estas variables están relacionadas a las características del fenómeno bajo estudio. Por ejemplo, el número de habitantes por kilómetro cuadrado por unidad de tiempo.

Un mecanismo de transición que permite que el modelo evolucione hacia los diferentes estados permitidos. Por ejemplo, en el distrito central de negocios de una ciudad (Central Business District), el número de personas por kilómetro cuadrado por unidad de tiempo toma diferentes valores en diferentes horas del día. Esto establece una relación entre el número de personas en esta área y la hora del día.

Una relación cuantitativa explícita entre las variables de estado. Una forma normal de hacer esto es a través de ecuaciones o relaciones que involucran razones de transición. Esto es, la cantidad de cambio de una variable de estado por unidad de tiempo debería depender de otra variable de estado.

El trabajar con modelos dinámicos permite el uso de diferentes aproximaciones matemáticas. Generalmente, las ecuaciones diferenciales son usadas para codificar las reglas que gobiernan el cambio de estados en el tiempo. Es también posible usar ecuaciones de diferencias en el caso discreto. En todos los casos, el análisis de sistemas permite identificar analíticamente o numéricamente los estados de equilibrio del sistema y las condiciones para su estabilidad.

En la siguiente sección se explorarán algunas de las aproximaciones más relevantes en el modelado de la dinámica urbana.

2.2. EL MODELO DE LOWRY

Quizás el primer modelo urbano basado en ecuaciones diferenciales fue el desarrollado por Lowry (1964). El modelo de Lowry trata sobre los uso de suelo y su propósito es asignar actividades urbanas a sub-áreas de una región delimitada de acuerdo a los principios de la interdependencia de las locaciones que podrían ser reducidas a una forma cuantitativa. El modelo está basado en la suposición que, ceteris paribus, el lugar de empleo determina el lugar de residencia. Por otro lado, la población residente requiere de servicios, por lo tanto, el lugar del empleo dado por los servicios depende de la población residente. El modelo está diseñado para hacer estimaciones de empleo en comercio al por menor, la población residente (número de jefes de familia) y el uso de suelo para sub-áreas en una región determinada. Estas sub-áreas son nominalmente de una milla cuadrada y están definidas en un enrejado coordenado.

Las distribuciones de la población residente y el empleo en comercio al por menor son generadas por medio de funciones algebraicas, las cuales, relacionan los lugares de residencia con los lugares de trabajo y relacionan la localización de varios tipos de actividades de comercio al por menor a un mercado accesible de consumidores. El corazón del modelo para colocar habitantes es un modelo gravitacional que relaciona los hogares con el empleo, usando una función de impedancia en forma de potencial.

Para calibrar el modelo, Lowry consideró la ciudad de Pittsburgh en 1958, donde la ubicación de acerías y otras grandes industrias eran independientes de la ubicación del empleo local. Estos sectores fueron considerados como el empleo básico.

2.3. EL PARADIGMA DE LA AUTO-ORGANIZACIÓN
Y EL MODELO DE ALLEN

Originalmente, las ideas principales del paradigma de la auto-organización fueron desarrolladas en la investigación de los sistemas físico-químicos fuera del equilibrio. El trabajo desarrollado por Prigogine y sus colegas permitió el desarrollo de una noción particular de complejidad. Esta noción incorporó un conjunto de conceptos y métodos, los cuales previamente se conocían en la física y la química. La visión de la realidad que fue construida con la ayuda de la metodología desarrollada por el grupo de Prigogine es conocida como el paradigma de la auto-organización (Nicolis, Glansdorff y Prigogine, 1974; Nicolis y Prigogine, 1977; Prigogine, Mayne y De Haan, 1977).

Por auto organización se entenderá el fenómeno por el cual un sistema incrementa de forma espontánea su organización. Este fenómeno puede ser medido a través de un decremento de la entropía del sistema, esto es, que el proceso de auto-organización permite establecer una condición en la cual existe menor ambigüedad acerca de en cuáles estados está el sistema. Un sistema auto-organizado el cual también decrece su entropía termodinámica, tiene una estructura disipativa y debe necesariamente exportar dicha entropía a sus alrededores.

Después de establecimiento del paradigma, investigadores de diferentes áreas comenzaron a usarlo como arquetipo para la comprensión del comportamiento complejo (véase por ejemplo: Foster, 1993; Kiel, 1989; Sawada y Caley, 1985. Peter Allen fue uno de los pioneros en usar el paradigma de la auto-organización en el estudio de sistemas humanos y el comportamiento individual en las ciudades. Sus modelos fueron establecidos en la década de los años setenta y tomaron como ejemplo la ciudad de Bruselas, Bélgica y son considerados como una contribución original al campo del modelado urbano. Sus modelos intra-urbanos (Allen, 1997; Allen y Sanglier, 1972), los cuales son el tópico central de su investigación, se desarrollaron usando el concepto de estructura disipativa en la cual la organización del espacio aparece y evoluciona de forma espontanea.

Es posible hacer una analogía entre la emergencia de estructuras disipativas y la evolución de la estructura urbana. En los sistemas físicos y químicos tales estructuras disipativas aparecen de interacciones locales a un nivel microscópico, conduciendo a correlaciones en un nivel macroscópico. En la ciudad, las acciones individuales de las personas adquieren una dimensión colectiva. En este sentido, los intereses individuales llevan a la ciudad a una etapa de organización independientemente de un poder central. Un criterio importante que deben cumplir las ciudades para soportar la analogía de las estructuras disipativas es el hecho que las ciudades son sistemas abiertos, esto es, la materia y la energía en forma de dinero, información, materiales y personas pueden entrar y salir del sistema. De hecho, estos flujos son usados para construir y mantener estructuras y exportar la entropía fuera de la ciudad. La posibilidad de exportar entropía permite la estabilidad de las estructuras disipativas en condiciones fuera del equilibrio. En periodos de cambio marginal, las ciudades pueden ser vistas como sistemas estables. Sin embargo, cambios en los parámetros del sistema pueden mover a éste a un estado en donde pequeñas fluctuaciones internas pueden activar procesos de realimentación positiva causados por la no linealidad del sistema. Entonces, las estructuras evolucionan en una de las estructuras disipativas posibles con los nuevos valores en los parámetros. Tales condiciones de inestabilidad solo aparecen bajo ciertos valores de los parámetros y la emergencia asociada a las nuevas estructuras posibles es llamada una bifurcación. Usualmente, las bifurcaciones son visualizadas como ramificaciones en las trayectorias dibujadas por las ecuaciones de estado del sistema. Esta imagen en la forma de un árbol de bifurcaciones puede ser generalizada (véase figura 2.1). En los puntos de la bifurcación el sistema escoge una rama del árbol para asociarse a sí mismo. Esto confiere una dimensión histórica al sistema. El trayecto del sistema a través del árbol de bifurcaciones puede ser identificado con la historia única de la ciudad.

Los modelos al estilo de Allen asumen que las estructuras en las ciudades son el resultado de unos pocos mecanismos básicos, debidos a fuerzas centrífugas y centrípetas. Las primeras reflejan la tendencia a la aglomeración de las economías de escala, mientras que las segundas representan las fricciones realizadas por los costos de transporte. Finalmente, ambas fuerzas son estructuradas en una dinámica específica estableciendo una tendencia a la dispersión de las actividades, lo cual es el resultado de la aglomeración del mismo tipo de actividades en áreas urbanas específicas. Los modelos entonces tratan de establecer los puntos de equilibrio del sistema.

Figura 2.1. Ejemplo de una función que presenta bifurcación.

En función de calcular el incremento de actividades que pueden ser encontradas en una ciudad, los modelos usan la teoría económica. Una matriz de inputs-outputs es usada para determinar el número inducido de trabajadores y servicios dados por un incremento en la demanda externa. Las reglas para el desarrollo de la ciudad son traducidas a un conjunto de ecuaciones diferenciales, las cuales son resueltas usando métodos numéricos. Estas ecuaciones describen el comportamiento de la intensidad promedio de cada actividad. En función de verificar la estabilidad de la estructura y al mismo tiempo para capturar el comportamiento que es proyectado por la media, un parámetro de ruido es introducido con el propósito de imponer un disturbio en la solución de las ecuaciones y entonces ofrecer la oportunidad de observar comportamientos fuera del promedio, los cuales son reforzados si se permite una realimentación positiva.

Usualmente, en este tipo de modelado, una región es representada por un conjunto de zonas y la unidad de tiempo corresponde a unos cuantos años, esto es, la escala de tiempo es tal que se puedan observar cambios estructurales. El tiempo es considerado como una variable continua, sin embargo, el modelo no provee en una escala de día a día la ruta exacta del desarrollo de la ciudad. El tiempo continuo es justificado solo por el hecho del uso de ecuaciones diferenciales y los resultados deben ser interpretados en términos de tendencias cualitativas en lugar de valores cuantitativos.

Tradicionalmente, este tipo de modelos urbanos considera tres tipos de fuentes de actividades: la población, los servicios y el trabajo. No existe distinción entre la infraestructura física y las actividades desarrolladas en una cierta ubicación. La red de transporte puede estar formada tanto por el transporte público como por el privado. Los modelos de Allen presentan un conjunto de nuevas e interesantes ideas acerca del desarrollo de las ciudades y el cambio en su estructura. Dichas ideas fueron tomadas con gran entusiasmo cuando aparecieron por primera vez. Pero estos modelos fueron abandonados cuando se detuvo el desarrollo teórico de los modelos.

2.4. MODELOS DE INTERACCIÓN ESPACIAL

En la década de los setenta, Harris y Wilson (1978) introdujeron una nueva aproximación al modelado urbano: la idea fue integrar los modelos convencionales de interacción y actividad espacial en un marco dinámico codificado a través de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones modelan tanto el desarrollo de las variables estructurales del sistema urbano, como el nivel del comercio al por menor y la estructura residencial, mientras que los modelos de interacción espacial modelan la ocupación de dicha infraestructura por la población y el empleo (Clarke, Beaumont y Wilson, 1981; Clarke y Wilson, 1985).

El modelo funciona como sigue. En el sistema de comercios al por menor, el modelo asume que este es el nivel de gasto generado por la población. Este gasto es usado para cubrir los costos del desarrollo físico de la infraestructura de las tiendas. Dentro de una cierta área puede haber discrepancia entre los gastos que se realizan y los costos de mantener la infraestructura física. Se asume que este desequilibrio será rectificado por el continuo ajuste de la infraestructura. Las actividades responden a cambios en la infraestructura física.

Los modelos de interacción espacial están basados en el concepto de entropía, la cual fue introducida en el modelado urbano por Wilson (1980). Este concepto asume que las actividades en la ciudad estarán distribuidas en la forma más probable, la cual es sujeto de restricciones específicas. Wilson mostró que esto provee de un marco conceptual de mayor rigor teórico, que los modelos de interacción espacial previos, sustentados en la analogía con la ley de la gravitación universal de Newton (Foot, 1981).

Wilson (1981) analizó los resultados dados por la solución de ecuaciones diferenciales de modelos urbanos integrados a través del uso de métodos tomados de la teoría de la catástrofe. La aproximación al modelado urbano usando dicha teoría había sido usada previamente por Dendrinos (1978). Dendrinos discute como la teoría de la catástrofe está relacionada con discontinuidades observadas en la localización de actividades industriales y residenciales en un área urbana abierta. Este modelo estaba basado en la catástrofe umbílica hiperbólica, esto es, una catástrofe la cual puede ocurrir para tres factores de control y dos ejes de comportamiento. La umbilica hiperbólica es el despliegue universal de la función f(x,y) = x3+ y3. Las locaciones con equilibrio dinámico de las dos actividades son identificadas con trayectorias en el conjunto de bifurcaciones de los tres parámetros (variables de control) y las dos variables comportamentales de tipo catastrófico.

En los modelos de Wilson, la teoría de la catástrofe trabaja con un conjunto particular de bifurcaciones que pueden ser encontradas en sistemas los cuales pueden ser descritos por una función de potencial. Los modelos de Wilson dividen la región de estudio en un conjunto de zonas y considera el tiempo como continuo. La implementación de los modelos usualmente considera un solo tipo de actividad tal como la agricultura, la industrial, la residencia. Sin embargo, los esfuerzos han sido siempre para implementar estos modelos en una situación más general , siguiendo la estructura sugerida por Lowry (1964).

Tenemos entonces dos tradiciones de modelado urbano. La forma de Wilson y la forma de Allen, tomando diferentes puntos de vista con respecto a la historia de la ciudad. Para Wilson, la historia de la ciudad es marcada por una serie de estructuras. Para llegar a dichas estructuras el sistema urbano tiene que alcanzar un estado de equilibrio. Entonces los modelos basados en el trabajo de Wilson tratan de proveer soluciones las cuales están cerca de dichos estados de equilibrio.

En la aproximación de Allen, aunque la historia de la ciudad continúa siendo una secuencia de estructuras, éstas no están necesariamente asociadas a estados de equilibrio. Los estados de equilibrio están presentes en las ecuaciones del modelo, pero el sistema no necesita alcanzarlos durante su evolución. El centro de atención en la teoría de Allen es el desarrollo de una trayectoria seguida por la ciudad y las estructuras pueden ser observadas a través de dicha trayectoria.

2.5. LA ECOLOGÍA MATEMÁTICA DE LAS CIUDADES

En los años ochenta, Dendrinos y Mullally (1985) introdujeron otra aproximación al modelado de ciudades. Ellos usaron una metodología basada en la ecología matemática para visualizar la evolución tanto de ciudades como de sistemas de ciudades. El elemento fundamental de esta metodología es el modelo de Volterra-Lotka, el cual es un sistema relativamente simple de dos ecuaciones diferenciales las cuales describen la dinámica de un sistema en donde hay un conjunto de depredadores y un conjunto de presas. Usando evidencia empírica, Dendrinos y Mullally demostraron que su modelo podía ser alimentado con datos reales y ser una útil herramienta de pronóstico para el estudio del desarrollo de las ciudades. Las dos variables que ellos usaron para describir el estado del sistema son la población urbana y el ingreso urbano. Esta aproximación puede ser implementada para describir el estado global de la ciudad, ignorando procesos complicados que se dan a un nivel local. La formulación de Volterra-Lotka ofrece un modelo descriptivo del comportamiento dinámico de la ciudad y puede ser usado en forma predictiva una vez que éste sea usado con los datos adecuados.

2.6. MODELOS URBANOS BASADOS
EN AUTÓMATAS CELULARES

Los autómatas celulares son una aproximación al modelado de la dinámica urbana. Esta aproximación dirige su atención hacia la estructura espacial de la ciudad desde un punto de vista microscópico. El espacio es dividido en pequeñas celdas, las cuales pueden estar solas u ocupadas por diferentes tipos de actividades. El desarrollo de las celdas es gobernado por reglas de transición locales, las cuales pueden contener procesos aleatorios.

Las matemáticas de los autómatas celulares son completamente diferentes de aquellas usadas en la aproximación basada en ecuaciones diferenciales como en los modelos de Allen, Wilson y Dendrinos. El poder de la aproximación con autómatas celulares radica en su capacidad para discutir detalles a nivel micro. Sin embargo, ésta es una limitación del modelo para operar a un nivel macroscópico. Otra limitación del modelo es la localidad de las reglas de transición. Se asume que una actividad, la cual tiene una celda en particular, no tiene influencia sobre sus vecinos más allá de un cierto radio. Ya que las ciudades reales son gobernadas por interacciones espaciales que ocurren en distintos niveles, los autómatas celulares están restringidos en este aspecto. Sin embargo, la aproximación es útil dado que hace posible el estudio de fenómenos emergentes que surgen de interacciones locales.

Las áreas de investigación en las cuales los modelos de autómatas celulares han sido satisfactoriamente usados son:

Crecimiento y morfología urbana. En esta área, los modelos de autómatas celulares han sido usados para representar los diferentes factores que influyen en el crecimiento de las ciudades. También, los patrones morfológicos de las ciudades son probados para ser reproducidos a través de la dinámica de los autómatas celulares (Aguilera, 2002; Batty y Xie, 1996; Couclelis, 1985, 1988, 1989; Hoppen, Clarke y Gaydos, 1996).

La dinámica del mercado inmobiliario. El trabajo de Sichirollo (1996) ha usado un modelo de autómatas celulares para investigar el comportamiento del mercado inmobiliario en la región de Mestre, Italia. Su modelo es sumamente interesante ya que, aunque las reglas para actualizar el valor de los inmuebles son totalmente empíricas, dichas reglas son capaces de reproducir la dinámica global existente.

La dinámica de los usos de suelo. Esta es uno de los usos más interesantes de los autómatas celulares. Los modelos de los autómatas celulares consideran la localización y la densidad de actividades socioeconómicas como factores que tienen influencia sobre la evolución espacial de dichas actividades. Este tipo de modelos ha sido desarrollado en (Batty y Longley, 1994; Batty y Xie, 1996; Webster y Wu, 1999; White y Engelen, 1993a, 1993b; Wu y Webster, 1998).

Segregación urbana. Esta línea de modelos comenzó con los trabajo pioneros de Sakoda (1971) y Schelling (1969, 1971, 1978). Es dentro de esta tradición en donde este trabajo trata de contribuir.

CAPÍTULO 3

MODELOS SOCIALES BASADOS
EN AUTÓMATAS CELULARES

3.1. CONCEPTOS BÁSICOS

Los autómatas celulares (CA por sus siglas en inglés) son sistemas dinámicos, discretos y espacialmente extendidos, caracterizados por una interacción local de las partes del sistema y una forma paralela de evolución. Los autómatas celulares fueron inicialmente conceptualizados por John von Neumann en 1948 como un modelo para la evolución biológica (von Neumann, 1951). Años después, von Neumann formalizó sus ideas como una máquina auto-reproducible (von Neumann, 1966). Los autómatas celulares son modelos prototípicos para sistemas complejos y ellos están formados por un gran número de componentes simples, idénticos y con interacciones locales. Aunque los desarrollos principales de la teoría de los autómatas celulares han sido hechos dentro de las matemáticas, la física y las ciencias computacionales, han sido usados también, como un marco matemático-formal para el modelado de sistemas físicos, químicos, biológicos, psicológicos y sociológicos (Ilachinski, 2001; Molofsky, 1994; Sznajd-Weron, 2000, 2002; Vallancher y Nowak, 1997).

Los autómatas celulares pueden ser formalizados matemáticamente de diferentes maneras, pero la descripción más recurrente consiste de un conjunto de estados, un espacio, un conjunto de variables de estado y reglas locales de transición entre estados. Los estados representan las diferentes condiciones de un sistema en una localización particular del espacio. Los puntos en el espacio, también llamados celdas, forman un enrejado regular de dimensión finita. El tiempo se toma como discreto. Cada punto tiene asociada una variable de estado que fluctúa sobre un conjunto finito y evoluciona de acuerdo a una regla de evolución local. El valor de la variable de estado en un sitio específico del enrejado en el siguiente paso de tiempo, depende del valor presente en el estado de las celdas de un número finito de sitios en la vecindad. Las reglas actúan sobre todas las celdas de forma simultánea, esto es, en paralelo. Este mecanismo de evolución es repetido cada paso de tiempo. Un aspecto relevante es que los patrones espacio-temporales surgen de estos mecanismos. De hecho, los autómatas celulares son un vehículo conceptual para explorar la formación de patrones espaciales (Ilachinski, 2001: 8).

3.2. DOS MANERAS DE FORMALIZAR
UN AUTÓMATA CELULAR

Una manera formal de definir un autómata celular es construir una formulación matemática en términos de conjuntos y mapeos entre ellos. La configuración del autómata celular puede ser definida a través de una penta-tupla A= (S,s,N,c,t), donde:

S es el conjunto de estados posibles.

es la dimensión del autómata. Para d = 1, el autómata es uni-dimensional, para d = 2 el autómata es bidimensional y así para d mayores que 2.

es el espacio celular.

es un mapeo local que relaciona un sitio con un elemento de .

es el tiempo discreto.

La función c determina la configuración del sistema a un tiempo dado t. El conjunto de todas las configuraciones es denotado como C. Un autómata celular evoluciona en tiempos discretos, de tal forma que es una configuración específica asociada a una configuración . Es posible definir una dinámica global . El comportamiento asintótico del autómata es la configuración . Siempre que este límite exista.

Para el caso bidimensional, existen dos tipos de vecindades. La más común es la vecindad de von Neumann (véase figura 3.1). La segunda es la vecindad de Moore.

Figura 3.1. Vecindades de Neumann, Moore y Moore extendida, respectivamente.

La evolución del autómata celular está determinada por reglas tomadas de un conjunto de reglas de evolución posibles. Usualmente, estas reglas son definidas de un mapeo local el cual puede ser bastante variado y complejo. A través de este mapeo local se determina el valor del estado en una celda a un tiempo dado. Es usual, para autómatas celulares cuyos conjuntos de estados tienen una estructura algebraica, que el siguiente estado de la celda central depende solamente de la suma de los valores actuales de las celdas en la vecindad. Por ejemplo, en un autómata celular bidimensional con una vecindad de von Neumann la regla de evolución puede ser: si la suma de las celdas adyacentes es cuatro, entonces la celda central es uno, en todos los demás casos el estado de la celda central es cero. Como el número de celdas en el arreglo reticular puede ser finito, existe un problema de definición cuando consideramos las celdas que están en los bordes. Existen varias soluciones para esto, entre ellas:

Pegar las celdas en los extremos opuestos. Así, un autómata unidimensional se convierte en un círculo y un autómata bidimensional se convierte en un toroide. Este método es usado extensamente.

Reflejar las celdas en los bordes. El resultado es que se obtienen propiedades simétricas en los bordes.

Otro formalismo matemático para definir a los autómatas celulares es el propuesto por Odlyzko, Wolfram y Martin (1984). Esta formulación concierne solo a los autómatas celulares cuyos conjuntos de estados tengan una estructura algebraica. Odlyzko, Wolfram y Martin, consideran primero un autómata celular unidimensional con elementos de estado tomados del campo binario. En este ejemplo, la evolución de un sitio particular depende de su propio valor y el de aquellos en su vecindad cercana.

El autómata celular consiste de N sitios organizados en un círculo, esto es, se consideran condiciones de frontera periódicas. Los valores de los sitios en un paso de tiempo t son denotados por un conjunto de variables de estado . En donde cada valor . Por supuesto, el conjunto es solo un ejemplo, las variables de estado pueden tomar valores de cualquier tipo de conjunto simbólico con la estructura algebraica de un anillo.

En el formalismo desarrollado por Odlyzko, Wolfram y Martin, la configuración de un autómata celular, especificada por los valores de los estados en cada sitio, puede ser representada por un polinomio característico (función generatriz):

(3.1)

donde el valor del sitio i es el coeficiente de . Entonces, las configuraciones son representadas por sus correspondientes polinomios característicos.

Odlyzko, Wolfram y Martin introducen la idea de un dipolinomio, el cual es un polinomio con potencias positivas y negativas de la variable dependiente. H(x) es un dipolinomio si existe algún entero m tal que es un polinomio ordinario en x. La multiplicación del polinomio característico A(x) por lleva a un dipolinomio el cual representa una configuración en la cual el valor de cada sitio ha sido desplazado j espacios hacia la derecha o izquierda. Para asegurar las condiciones de frontera periódicas, todas las operaciones polinomiales son tomadas entonces:

(3.2)

De forma general, el valor de un sitio en un autómata celular es una función arbitraria de los valores en el paso de tiempo previo t-1. En el caso de un autómata celular aditivo, esto es un autómata celular tal que:

(3.3)

para alguna selección de constantes en el anillo definido por los estados, la evolución en el tiempo puede ser representada por la multiplicación del polinomio característico por un dipolinomio fijo en x, llamado el dipolinomio de transición, el cual en este caso es:

(3.4)

Entonces, la evolución del autómata celular en su representación polinomial está dada por:

(3.5)

3.3. CLASIFICACIÓN DE LOS AUTÓMATAS
CELULARES: LAS CLASES DE WOLFRAM

Un problema fundamental en la teoría de los autómatas celulares es su clasificación. Stephen Wolfram propuso una clasificación que divide todos los autómatas unidimensionales dentro de cuatro grupos de acuerdo a su comportamiento observado. Wolfram encontró que las reglas aplicadas a los autómatas unidimensionales podrían producir uno de cuatro tipos de comportamientos (Wolfram, 1984).

Clase I. Evolución a través de estados homogéneos. La evolución del autómata celular conduce a estados estables y homogéneos, en los cuales todas las celdas eventualmente alcanzan el mismo valor. Esto significa que una vez en dicho estado, conocido como punto fijo, el autómata ya no evoluciona.

Clase II. Evolución a través de estructura simples estables o periódicas. La evolución en esta clase de autómatas conduce ya a estados estables simples o a estados que se repiten periódicamente. Estos autómatas presentan estructuras espaciales separadas. En esta clase de autómatas, segmentos del espacio celular evolucionan de forma separada, de forma regular. La periodicidad significa que partes del autómata evolucionan de una configuración A hacia una configuración B retornando después a la configuración original A y así sucesivamente. Además, sólo algunas regiones del espacio celular presentan esta característica.

Clase III. Patrones caóticos. Esta clase de autómatas celulares tiene la particularidad que su evolución conduce a un comportamiento caótico, definido éste como una secuencia de configuraciones, las cuales son susceptibles de cambios drásticos dependiendo de las configuraciones iniciales del autómata. Por otra parte, los puntos fijos o periódicos son inestables.

Clase IV. Estructuras complejas de larga vida. Este tipo de autómatas presenta un comportamiento similar a los de la clase III, con la diferencia de que el comportamiento caótico aparece en partes aisladas del autómata.

3.4. AUTÓMATAS CELULARES APLICADOS
AL MODELADO DE FENÓMENOS FÍSICOS

Los autómatas celulares proporcionan una forma relativamente nueva para el estudio de fenómenos físicos a nivel microscópico. La aproximación por autómatas celulares está basada en que éstos, como sistemas computacionales universales, son capaces de tener comportamiento arbitrarios complicados y son útiles para construir teorías de campo discretas que compiten con los modelos continuos (Ilashinski, 2001: 9). La idea principal es hacer abstracciones de un conjunto de leyes microscópicas dando lugar a comportamientos conocidos en la escala macroscópica. En esta sección se revisará uno de los más emblemáticos usos de los autómatas celulares en la física, esto es, el modelo de Ising y algunas de sus variantes. Esta revisión es pertinente porque el modelo propuesto en este trabajo es similar en su formulación al modelo de Ising.

3.4.1. El modelo de Ising

El modelo de Ising es quizás el más paradigmático ejemplo de un sistema espacialmente extendido. Dotado con una dinámica apropiada, éste puede ser visto como un autómata celular. El modelo de Ising fue originalmente formulado como un modelo para el ferromagnetismo, pero pronto éste fue usado en otros campos como la Biología (Thompson, 1972: 177-207) y las ciencias sociales (Sznajd-Weron, 2000, 2002). La formulación matemática del modelo es como sigue: (Thompson, 1972: 117-119).

Consideremos una red , y un conjunto de estados de spin {-1,1}, donde +1 significa spin arriba y -1 spin abajo. Una configuración es un mapeo asignando un valor (estado de spin) a cada sitio de la red (véase figura 3.2). La energía de la configuración es definida por:

(3.6)

donde la suma con asterisco se extiende sobre todos los vecinos cercanos de los sitios de la red, J es la constante de acoplamiento y H es el campo magnético externo. El primer término de la ecuación representa la energía de interacción entre los spines, mientras que el segundo término constituye la interacción de los spines individuales con el campo magnético externo. Nótese que la energía de interacción entre dos spines i y j en una vecindad cercana es:

Figura 3.2. Modelo bidimensional de Ising. Cada sitio de red tiene un spin, representado por una flecha

El problema de la mecánica estadística reduce el modelo a la evaluación de la función de partición definida por:

(3.7)

donde la suma se extiende sobre todas las configuraciones admisibles de los spines.

3.4.1.1. LATTICE GAS

El lattice gas es una variante del modelo de Ising. Fue formulado por Yang y Lee (1952) como un modelo discreto de un gas. La definición es como sigue. Sea un enrejado de V sitios y considérese una colección N < M de partículas. Las partículas están localizadas en los vértices del enrejado, de tal manera que no más de una partícula puede ocupar un sitio específico de la red. Sólo las partículas en los sitios de la vecindad más cercana pueden interactuar entre sí. Una configuración del gas codificada por el arreglo de ceros y unos, tal que el enrejado sea:

Solo las partículas vecinas pueden interactuar de tal manera que la energía total de interacción de la configuración está dada por:

(3.8)

Donde nuevamente, la suma con asterisco se extiende sobre los vecinos más cercanos de los puntos en el enrejado. La condición de que el total de partículas es N puede escribirse como:

(3.9)

Y la función de partición está dada por:

(3.10)

3.4.1.2. MODELO DE INTERCAMBIO DE SPINES DE KAWASAKI

Una de las reglas de evolución aleatoria para convertir este tipo de modelos en una dinámica parecida a un autómata celular, es la dinámica de intercambio de spines propuesta por Kawasaki. El modelo de Kawasaki es un modelo de difusión. En la versión bidimensional de este modelo, las partículas están en sitios sobre un enrejado cuadrado y se difunden escogiendo aleatoriamente uno de los sitios correspondientes a sus cuatro vecinos cercanos y entonces intercambian su estado con el de dicho sitio. La temperatura es introducida en el sistema, dando una probabilidad que dos sitios escogidos no se conviertan (Canning y Droz, 1990).

3.5. AUTÓMATAS CELULARES APLICADOS
A LOS FENÓMENOS SOCIALES

Parece ser que el modelado parecido a un autómata celular apareció al mismo tiempo en las en las ciencias sociales. James S. Sakoda (1971) fue el primero en desarrollar un modelo parecido a un autómata celular para modelar un fenómeno social. Sakoda publicó su artículo “The checkerboard model of social interaction” en 1971; sin embargo, el diseño básico del modelo fue previamente presentado en 1949 en su disertación sin publicar. La meta central del modelo de Sakoda fue entender la formación de grupos. Otros ejemplos, de modelos parecidos a autómatas celulares son los desarrollados por Thomas Schelling. Schelling (1969, 1971) analizó los procesos de segregación entre individuos pertenecientes a dos diferentes grupos étnicos: negros y blancos. Cabe recalcar que ni Sakoda ni Schelling usaron el concepto formal de autómata celular, dicho concepto aparece en el trabajo de Peter S. Albin (1975) en su libro The analysis of complex socioeconomic systems. Fue además, el primero en subrayar el enorme potencial de los autómatas celulares para entender la dinámica social.

3.5.1. El modelo de segregación residencial de Schelling

El modelo de Schelling es, junto con el modelo propuesto por Sakoda, el modelo de segregación más importante (Sakoda, 1991; Schelling, 1969, 1971, 1978). Representa uno de los primeros modelos constructivos de un sistema dinámico capaz de auto-organizarse. Las ideas de Schelling están basadas en una observación profunda acerca del comportamiento colectivo humano. Schelling observó que el comportamiento organizado de las personas no se plantea solamente en la forma de acciones individuales tendientes a minimizar esfuerzos, o maximizar el confort. Los constreñimientos hechos por la acción de otros individuos que persiguen sus propias metas y objetivos son esenciales en este fenómeno. Schelling llamó a esto un comportamiento contingente, esto es, un comportamiento que depende de lo que los otros han hecho. Otra importante observación es que la coordinación entre diferentes actividades humanas usualmente aparece sin un conocimiento profundo de las decisiones de los otros. Usando monedas de un centavo (pennies) y monedas de diez centavos (dimes) sobre un tablero de ajedrez (sesenta y cuatro cuadrados divididos en ocho renglones y ocho columnas), y moviendo las monedas de acuerdo a reglas específicas, Schelling explicó cómo aparecen espontáneamente patrones de segregación residencial, tales como guettos, aún si la población no es segregacionista. Schelling interpretó el tablero de ajedrez como una ciudad, con cada celda representando una casa o un lote vacío. En este juego (simulación) las monedas son agentes representando cada uno a uno de los dos grupos en la sociedad. La ausencia de una noción global de segregación en las preferencias del agente es una característica de gran relevancia del modelo. Los agentes tienen sólo preferencias locales sobre sus vecindades. La vecindad de un agente ocupando cualquier sitio del tablero de ajedrez consiste de los cuadros adyacentes a la locación. En términos de autómatas celulares se estaría hablando de una vecindad de Moore. Las reglas dependen de la “felicidad” de los agentes, la cual determina su cambio de ubicación. La felicidad de un agente depende del número de agentes del mismo tipo localizados en su vecindad. Si un agente es infeliz, éste tratará de moverse a otro lugar en el tablero o es posible que deje el tablero para siempre. Schelling encontró diferentes configuraciones y reglas que permiten encontrar equilibrios y ciclos en su modelo (véase figura 3.3). Por supuesto, Schelling no uso una simulación computacional para el estudio de su modelo o formuló su modelo como un autómata celular. Sin embrago, su modelo puede ser visto como un espacio celular finito, cada celda tiene asociado un estado tomado de un número finito de posibilidades y el cambio de las configuraciones depende solamente de reglas locales.

El modelo de Schelling puede ser formalizado como sigue. En un espacio celular de sitios, para cada celda puede asociársele uno de los estados en , representando un agente blanco, un agente negro y un lote vacío. Cada agente trata de escoger una ubicación siguiendo una regla que depende de la proporción de agentes de otros tipos (colores) en sus vecindades. Dado un umbral , el agente cambiará su ubicación si el porcentaje de individuos similares en la vecindad es menor que , esto es, para una configuración del tablero de ajedrez al tiempo t,

(3.11)

O bien

(3.12)

Entonces:

(3.13)

Si no:

(3.14)

Aquí es el número de agentes negros y es el número de agentes blancos en la vecindad del sitio i al tiempo t. Por supuesto, la nueva locación j, la cual es escogida de forma aleatoria debe estar vacía. Conforme el número de celdas vacías decrece, el tiempo necesario para encontrar locaciones se incrementa.

Basado en las ideas de Schelling, han sido desarrollados dos tipos de modelos. El primero concierne a la formación del consenso basado en los cambios de opinión entre individuos. El cambio de opinión proviene de la tensión generada por la diferencia de opiniones entre agentes vecinos. El segundo tipo de modelos concierne a cambios en la localización como en el modelo original de Schelling. Ambos tipos de modelos producen patrones de segregación (Batty, 2005: 51). A continuación revisaremos algunos modelos de este tipo.

Figura 3.3. Configuraciones típicas del Modelo de Schelling.

3.5.2. El modelo de segregación residencial de Sakoda

En el modelo de segregación residencial de Sakoda, los miembros de dos grupos bien en un enrejado tipo tablero de ajedrez, tienen actitudes hacia el otro ya sea positivas, neutrales y negativas. Dichas valencias están dadas por números enteros, es la valencia del individuo j con respecto al individuo i. Como en el modelo del Lattice gas, existe un número P de individuos y no todas las celdas están ocupadas. Estos individuos se pueden mover a sitios vacíos en una vecindad de . Si no hay celdas vacías, se permite que el individuo “brinque” una celda ocupada, pero la migración es siempre local o permitida dentro de ciertos límites. Un individuo i usa la opción de migración para moverse a sitios donde

(3.15)

es maximizada. Aquí es la distancia euclidiana entre dos locaciones de individuos i, j y el parámetro w determina la fuerza con que las valencias son disminuidas por la distancia. A mayor w, menos reducción de la valencia.

El modelo original de Sakoda es un mundo artificial estilo tablero de ajedrez de 8×8, el cual está ocupado por dos grupos, cada uno de 6 miembros. Los miembros de un grupo son representados por cuadrados y los miembros del otro grupo por cruces. Sakoda analizó diferentes combinaciones de actitudes. En la figura 3.4 se muestran algunas de las configuraciones logradas con el modelo de Sakoda.

Figura 3.4. La dinámica de la segregación del modelo de Sakoda (tomado de Sakoda, 1971: 127).

3.5.3. Modelos de decisión colectiva

Este tipo de modelos se enfoca en la emergencia de decisiones colectivas en sistemas compuestos por agentes que interactúan entre sí. Todos estos agentes son libres de escoger una de dos posibles alternativas a cada iteración. La elección de cada agente es influida por las decisiones de sus vecinos y sus propias preferencias personales. Las preferencias de los agentes no son fijas sino que se ajustan a las circunstancias cambiantes de acuerdo a dos mecanismos básicos. El primero considera que los ajustes toman en cuenta las elecciones previamente tomadas (adaptación) y la toma de una decisión también toma en cuenta las decisiones hechas por la mayoría (aprendizaje). Este tipo de sistemas presentan transiciones de fase en la distribución de las decisiones colectivas en la presencia de mecanismos de aprendizaje. El sistema se polariza, incluso cuando los individuos continuamente alternan entre diferentes opciones. Esto indica la existencia de correlaciones de largo alcance entre el comportamiento de los agentes, y es observada en rejillas bi-dimensionales como patrones espaciales con la forma de vórtices o espirales. El comportamiento de este tipo de modelos está en concordancia con datos empíricos tomados de casos como la popularidad de una película, los mercados financieros, y el comportamiento electoral.

La formulación matemática de este tipo de modelos es descrita por Kacperski, Holyst y Schweitzer (2000). Ellos consideran un sistema compuesto de N agentes los cuales son miembros de un grupo social viviendo en una región de un espacio bidimensional. Se asume que cada uno de estos agentes puede compartir una de dos posibles opiniones (las cuales son opuestas entre sí) sobre un cierto tema. Por lo tanto, las configuraciones de opiniones son representadas por un arreglo , con para cada unos de los i =1, 2, … , N. Para cada agente es asociado un parámetro , el cual representa la fuerza de su influencia. Es usual tomar simulaciones con los parámetros aleatorios. Los cambios en la opinión son determinados por el impacto social ejercido por cada individuo

(3.16)

donde denota la distancia euclidiana entre los agentes i y j, g(x) es una función de incremento, es un parámetro que refleja la inclinación de un agente a mantener su opinión presente, h es una influencia externa adicional considerada como una preferencia global hacia alguna de las opciones, la cual es estimulada por los medios masivos de comunicación o bien por políticas gubernamentales. El modelo permite la existencia de un líder L, el cual tiene un fuerte valor con respecto a los otros agentes, esto es, . Las opiniones de los individuos cambian de forma sincrónica con tiempos discretos de acuerdo a la regla:

Donde el parámetro T puede ser interpretado como el grado de aleatoridad en el comportamiento de los individuos. Cuando T= 0, el modelo es completamente determinista y la ecuación previa se convierte en:

donde sign(z) = +1, si z ≥ 0, y es igual a -1 en los demás casos.

Para T = 0 el modelo presenta dos estados estacionarios: un estado cúmulo conformado por agentes que comparten la opinión del líder, rodeados por un anillo de oponentes; y el segundo estado unificado con iguales opiniones para cada individuo. Una transición de fase cúmulo- unificación aparece bajo ciertos cambios en y h.

3.5.4. Modelos de votación

Los modelos de votación constituyen otra formalización matemática estilo autómata celular, dentro de las ciencias sociales. Este tipo de modelos son usados en la ciencia política para el estudio de la organización espacial de preferencias públicas sobre un determinado asunto. Este asunto puede ser un candidato, un partido político o una marca de algún artículo. Estos modelos usan una regla de votación sobre un enrejado en el cual los nodos representan personas con preferencias.

En los siguientes párrafos se presentan dos célebres modelos de votación basados en autómatas celulares, esto es, el modelo de Sznajd y el modelo de la regla de la mayoría.

3.5.5. El modelo de Sznajd-Weron

Uno de los modelos más famosos en las ciencias sociales, que usa como inspiración el modelo de Ising, es el modelo de votación de Sznajd-Weron (2000). La formulación del modelo es como sigue: considérese una comunidad tomando una posición con respecto a algún asunto, por ejemplo, el voto por un presidente en un sistema bipartidista. Si cada miembro de la comunidad puede tomar sólo dos posturas (A y B), entonces en varias votaciones se esperaría alguna diferencia m de votantes para y contra A. El modelo asume tres casos límite:

Todos los miembros de la comunidad votan por A.

Todos los miembros de la comunidad votan por B.

El 50% vota por A y el otro 50% vota por B.

Estas serían las soluciones estables del modelo. El propósito del modelo es analizar el tiempo de evolución hacia una configuración m. Para esto, la opinión A se asocia a un estado de spin +1 y a las demás opiniones se les asocia -1. Entonces, para las configuraciones de preferencias se asocia una cadena de spins de Ising , la cual evoluciona siguiendo las siguientes reglas dinámicas:

Si , entonces y toman la dirección del par (i, i+1).

Si , entonces toma la dirección de y toma la dirección de .

Estas reglas describen la influencia de un par dado sobre la decisión en la vecindad más cercana. Cuando los miembros de un par tienen la misma opinión, entonces sus vecinos más cercanos están de acuerdo con ellos. Por el contrario, cuando los miembros de un par tienen diferentes opiniones, entonces el vecino más cercano de cada miembro toma la opinión del opositor. Para cada número par de agentes, esta dinámica lleva a tres estados estacionarios, los dos mencionados arriba y la situación donde cada agente tiene la opinión contraria a la de sus vecinos. Sin embargo, este tercer estado (50% para A y 50% para B) es alcanzado solo bajo circunstancias muy especiales.

El modelo ha sido ampliamente estudiado y se ha encontrado (Slanina y Lavicka, 2003) que en el caso de q opciones de opinión, el sistema tiene un estado estacionario homogéneo, donde todos los individuos tienen la misma opinión. No hay manera de salir de los estados estacionarios, por lo que funcionan como atractores del sistema. Se ha encontrado que para enrejados unidimensionales y bidimensionales, la fracción de los individuos que nunca cambia de opinión decae como una potencia en el tiempo. En el caso binario, cuando q es igual a 2, el modelo presenta transiciones de fase relacionadas con el número inicial de individuos con alguna de las opciones (Slanina y Lavicka, 2003).

3.5.6. El autómata celular de la regla de la mayoría

Este tipo de modelos, está definido en un enrejado cuadrado y usa una regla simple de transición basada en el conteo de vecinos en una vecindad concreta, ya sea de von Neumann o de Moore. La celda central cambia su estado para estar conforme con la mayoría de sus vecinos. La idea básica es entender la microestructura de las decisiones colectivas en los cuales los votantes individuales son influenciados por las opiniones de sus vecinos (Moore, 1997). El caso binario con una vecindad de von Neumann tiene dos estados locales {0,1} y la regla de evolución:

En la figura 3.5 se muestra el tipo de comportamientos de este tipo de modelos.

Figura 3.5. Gráfica del autómata celular de la regla de la mayoría en su estado estacionario. Desarrollo propio usando Netlogo.

3.5.7. El modelo de White

Otra aplicación de los autómatas celulares a las ciencias sociales es en la geografía. En este tipo de aplicaciones, los autómatas celulares son usados para modelar fenómenos socioeconómicos que ocurren en un contexto espacial explícito. Uno de los modelos paradigmáticos es el modelo de la evolución del uso del suelo propuesto por Engelen, White y Uljee (1997). Formalmente, el autómata celular consta de un espacio celular finito, el cual representa un área urbana hipotética. Engelen, White y Uljee proponen dos tipos de estados que cambian con el tiempo y un estado fijo. Los diferentes usos del suelo son identificados con los elementos del conjunto de estados del autómata celular. Los estados móviles representan usos de suelo como uso industrial o residencial, mientras que los estados fijos representan caminos o elementos geográficos como un rio o una cañada. Las transiciones en el modelo son gobernadas por una función que relaciona cuatro tipos de factores:

Las conveniencias inherentes entre usos de suelo alternativos, las cuales presentan inhomogeneidades en el espacio geográfico. Estas conveniencias para un uso de suelo en una locación específica, constriñendo los cambios, están relacionadas con tópicos tales como calidad del suelo, restricciones legales o presiones económicas de tipo especulativo.

El efecto de los usos de suelo de locaciones adyacentes sobre el uso de suelo en un lugar específico. Este tipo de efecto puede ser atractivo o repulsivo. Por ejemplo, los usos de suelo residencial atraen uso de suelo residencial en sus alrededores, mientras que repelen usos de suelo de tipo industrial.

El efecto de la accesibilidad local, el cual representa la facilidad de acceso a la red de transporte.

Una perturbación de tipo estocástico, que captura los efectos del conocimiento imperfecto del sistema y las variantes en necesidades y gustos entre agentes, cuyas decisiones tienen un impacto sobre el uso del suelo.

La función es usada para calcular un arreglo de potenciales de transición para cada celda activa, y un potencial de transición para cada posible estado de la celda. Una vez que se aplica la regla de transición, el estado de cada celda cambia por aquel con el mayor valor de potencial. Los potenciales de transición del estado (uso de suelo) e al estado e’ para una celda dada (la rejilla bidimensional que representa la ciudad) están dados por:

donde:

La distancia es de tipo euclidiano.

state(c) denota el estado (uso de suelo) de la celda c.

es un parámetro de peso que aplica a las celdas con estado y a una distancia d de la celda . Usualmente, las celdas cercanas a la celda bajo cálculo tienen un peso alto. Los pesos pueden ser positivos sí los estados son compatibles, es recomendable usar valores negativos para los pesos cuando los estados son antagónicos.

es un parámetro inercial y es la delta de Kronecker. Esto es, , sí e = e´, y para cualquier otro caso. El término se usa para incrementar la probabilidad de que la celda permanezca en su estado actual.

representa la conveniencia del estado e y

es un índice de accesibilidad, el cual expresa la importancia de la accesibilidad para el uso de suelo e.

es la distancia euclidiana de la celda a la celda más cercana con un estado fijo, esto es, un estado que no cambia en el tiempo como una calle o un rio.

random es una distribución aleatoria uniformemente distribuida que toma valores en [0,1] y es un parámetro que controla el tamaño de la perturbación estocástica dada por el término .

El modelo es capaz de reproducir usos de suelo de ciudades verdaderas. El modelo ha sido usado para modelar la ciudad de Cincinnati y produjo una gran correspondencia entre el mapa real de usos de suelo y el simulado (Engelen, White y Uljee, 1997: 117-118). La dinámica del modelo no ha sido rigurosamente estudiada debido a que involucra muchos parámetros. Sin embargo, Aguilera (2002) llevó a cabo un estudio estadístico del modelo y encontró que para el caso determinista () no existe la auto-organización. La auto-organización se incrementa con . En la figura 3.6 se presenta la evolución de los usos de suelo en el modelo de Engelen, White y Uljee.

Figura 3.6. El modelo de usos de suelo de Engelen, White y Uljee. Tomado de Aguilera (2002).

3.6. HERRAMIENTAS ANALÍTICAS PARA ENTENDER LOS MODELOS DE AUTÓMATAS CELULARES

3.6.1. Orden, desorden y entropía

Se entenderá la entropía como una medida de la aleatoridad del sistema. Para sistemas con N estados identificables, la entropía puede ser definida como:

(3.17)

donde es una distribución de probabilidad sobre los estados del sistema, de tal forma que para cada y . La entropía máxima es alcanzada cuando la distribución de probabilidad es uniforme, esto es, , para cada . Por otro lado, el valor mínimo de la entropía , corresponde a una distribución extrema , donde es la delta de Kronecker definida anteriormente.

La entropía nos permite definir el orden y el desorden como sigue:

Desorden = exp(S) y el Orden =

3.6.1.1. ENTROPÍA DE PATRONES ESPACIALES

En el estudio del comportamiento espacial de un autómata celular es útil definir algunas medidas cuantitativas. Una de las medidas es la entropía del patrón espacial del sistema, la cual es una medida estática. El espacio físico, representado por el enrejado, es dividido en dominios, los cuales son conjuntos de sitios espacialmente correlacionados. Entonces, la entropía del patrón está dada por (Ilachinski, 2001: 395):

(3.18)

donde la suma es sobre todos los dominios de tamaño d, y la distribución de probabilidad sobre el tamaño de los dominios es empíricamente estimada, ya sea recorriendo sobre el espacio entero dada una configuración o muestreando alrededor de ciertas regiones en el tiempo. Otras variantes de esta cantidad consideran la transformada de Fourier de las configuraciones y la longitud de onda reemplazando el tamaño de los patrones.

3.6.2. Transiciones de fase en los sistemas sociales

En termodinámica, una transición de fase es un cambio abrupto en una o más propiedades físicas de una substancia. Ejemplos de este fenómeno son las transiciones de líquido a gas, de la conductividad normal a la superconductividad, o de paramagnetismo al ferromagnetismo. Matemáticamente, el problema es explicar o derivar la existencia de este tipo de fenómeno y predecir el comportamiento de las cantidades físicas en la vecindad del punto de transición desde el formalismo de la mecánica estadística. Sin embargo, existen otro tipo de sistemas que presenta transiciones de fase y que pueden ser formulados en términos de partículas individuales en interacción como es el caso del modelo de Ising y el modelo de aleaciones binarias.

Un sistema social es un grupo de agentes en interacción que tienen comportamientos individuales complejos. En estos sistemas, los agentes se influyen unos a otros y es usual que una fuente externa al sistema influya en ellos. Los sistemas sociales usualmente reaccionan de forma progresiva a cambios graduales en las fuerzas externas, pero como en los sistemas físicos existen transiciones de fase en las cuales el comportamiento de los agentes individuales tomados colectivamente, exhibe un cambio dramático ante pequeños cambios en las condiciones externas (Levy, 2005, 2007).

3.6.2.1. UN MARCO PARA EL ANÁLISIS DE LAS TRANSICIONES
DE FASE EN UN SISTEMA SOCIAL

En esta sección se seguirá la formulación propuesta por Levy (2006, 2007) para analizar las transiciones de fase en los sistemas sociales. Consideremos un sistema de N individuos los cuales están enfrentados a una decisión binaria. La decisión de un individuo depende de las características personales y de un parámetro global. Se define una función de utilidad para el individuo i, la cual depende de un vector de características personales fijas, de un vector de parámetros globales fijos, de su elección presente y de un parámetro global x el cual es una fracción de la población cuya elección es 1, esto es . Este parámetro global será usado para determinar la presión o influencia sobre la decisión individual. Dados los valores de los parámetros , , x, el individuo hace una elección entre o en función de maximizar su función de utilidad. Esto significa que el individuo compara:

Y si , entonces el individuo i escoge en cualquier otro caso .

Una característica de los sistemas sociales es el interés de los individuos por sus pares. Este interés es una inclinación a estar conforme con las opiniones o decisiones de los otros. Este fenómeno social es observado en diferentes contextos, tales como el de la innovación tecnológica, el manejo de la información, la influencia en la reputación o una combinación de éstas. Para modelar esto, se escoge de tal forma que sea incrementada con x.

Sea el nivel del umbral asociado al individuo i, tal que:

(3.19)

Sí , el individuo i escogerá y escogerá en cualquier otro caso . El umbral varía entre los individuos, dependiendo de su función de utilidad y sus características. Cada umbral individual está dado por la función de utilidad individual. Así, dada una población heterogénea existirá alguna distribución del umbral en la población. Esta distribución es la base para la transición de fase social en la formulación del modelo de Levy.

Levy asume que la densidad de población de los umbrales en la población, denotado por p(x), es continua. La distribución cumulativa de x es denotada por F(x) (véase figura 3.7).

El equilibrio es definido como el punto donde la proporción de individuos que escogen coincide con la probabilidad a priori de tal decisión, esto es, = E. Esto corresponde al punto de intersección de la función F(x) con la línea de 45º en el punto E en la figura 3.7.

Figura 3.7. Análisis del equilibrio (Levy, 2005: 75).

Pequeños cambios en alguno de los parámetros globales lleva a pequeños cambios en F(x). Esto lleva a pequeñas variaciones en el punto de equilibrio. Esto es verdadero la mayor parte del tiempo, pero sí hay situaciones donde pequeños cambios en los parámetros producen un nuevo punto de equilibrio situado lejos del punto de equilibrio original. En este caso ocurre una transición de fase en el punto y el punto en la figura 3.8.

Figura 3.8. Cambios en F(x) y el cambio resultante del punto de equilibrio (Levy, 2005: 77).

Levy encontró que la transición de fase debe ocurrir si para algún , donde es la función de densidad de probabilidad del umbral. Otro hallazgo fue que la transición de fase social debe ocurrir siempre que la población no sea “tan heterogénea”, esto es, entre más homogéneo es el sistema más dramática será la transición. Así, la heterogeneidad hace al sistema más inmune a transiciones de fase dramáticas.

3.6.3. El método de Monte Carlo para
el estudio de los autómatas celulares

El método de Monte Carlo provee una solución para una gran variedad de problemas matemáticos en los cuales, los experimentos con muestras estadísticas son llevadas a cabo en una computadora. Este método fue creado como una aproximación por simulación para resolver integrales que no podían ser resueltas de forma analítica. Para esto, el método usa números aleatorios. Cualquier esquema que emplee números aleatorios asociados a variables aleatorias con una distribución de probabilidad conocida, puede ser estudiado mediante este método. Este es el caso del modelo de Ising.

La idea subyacente en el método de Monte Carlo para implementar dinámicas para el modelo de Ising es como sigue (Yeomans, 1994: 65). Se está interesado en encontrar el valor de la variable termodinámica A (como puede ser la energía o la magnetización), la cual es una suma ponderada sobre todas las posibles configuraciones de spin ,

(3.20)

En un modelo de Ising con N spines, la suma se extiende sobre configuraciones. Este número puede ser calculado sólo para N pequeñas. La forma de abordar con este hecho es tratar de desarrollar una muestra aleatoria sobre todo, los espacios de configuraciones, ponderados usando la distribución de Gibbs, y usando este conjunto de muestras para estimar la media requerida. En el equilibrio, el sistema pasa su tiempo en los estados con los parámetros termodinámicos dentro del orden de , alrededor de su media. La técnica del muestreo toma este hecho en cuenta. Para generar este conjunto de muestras es necesario conocer exactamente la distribución de probabilidad de los estados, sin embargo esto requiere calcular la función de partición la cual es nuevamente una suma sobre todos los estados (Yeomans, 1997: 96). Para resolver el problema, el método de Monte Carlo genera secuencias aleatorias de los estados . Estas secuencias tienen la propiedad que para la variable termodinámica A, la media de A sobre N estados sucesivos converge a su valor de la media (Yeomans, 1997: 96), esto es:

(3.21)

Donde el término es una corrección del orden de una constante multiplicada por .

3.6.3.1. EL ALGORITMO DE METROPOLIS

Para desarrollar una simulación Monte Carlo para el modelo de Ising, es frecuente usar el algoritmo de Metropolis, el cual se describe a continuación.

Establezca el enrejado .

Defina los spines para cada .

Establezca el contador n =1 y escoja y .

Desde n=1 hasta .

Escoja un sitio aleatoriamente.

Calcule , donde es la configuración de ceros, excepto para el sitio i, donde éste toma el valor .

Generar un número aleatorio .

Sí r > z defina , esto corresponde un giro del spin, de otra forma .

Sí , entonces guarde (o al menos A().

n = n+1.

Calcule .

La evolución estocástica del modelo de segregación residencial presentado en este trabajo puede ser vista como una variación de este algoritmo.

CAPÍTULO 4

EXPLICACIONES ACERCA
DE LA SEGREGACIÓN RESIDENCIAL

4.1. CONCEPTOS BÁSICOS

La segregación residencial es un fenómeno complejo con varias dimensiones de análisis, y cuyos mecanismos que la gobiernan son difíciles de identificar. En una primera aproximación se puede asumir que el fenómeno es gobernado por un conjunto de reglas de comportamiento estructural, las cuales determinan la posibilidad de que un individuo obtenga un tipo particular de casa en una locación específica de la ciudad. Dado que estas reglas no son evidentes, se requiere de una hipótesis simplificada.

Un punto de vista, basado en la ecología humana, postula que la segregación residencial ocurre debido a que los individuos en la ciudad están en competición por el espacio y sus recursos. De acuerdo a esta aproximación, la competición es la principal fuerza que conduce a la segregación residencial (Duncan, 1971: 86). El resultado de esta competición es determinado por la habilidad de los individuos de esforzarse para obtener locaciones ventajosas en el espacio urbano, esto es, su capacidad dominante, la cual es constreñida por reglas socioculturales y socioeconómicas (Duncan, 1971: 85-88).

Existen tres hipótesis principales acerca de las reglas socioculturales que gobiernan la segregación residencial. La primera se refiere a la emigración selectiva de clase desde las regiones más pobres. En una región donde coexisten personas pobres y menos pobres, los últimos tienden a migrar hacia regiones más ricas. Este mecanismo tiende a aislar y concentrar a las personas pobres, incrementando de esta forma la razón de pobreza en la región. La segunda hipótesis establece que la concentración vecinal de personas pobres refleja la pobreza general del área urbana. Cuando el promedio muestra una tendencia a la baja, la razón de pobreza vecinal se incrementa. Finalmente, la tercera hipótesis está relacionada por la segregación racial experimentada por la gente pobre. Los prejuicios raciales causan una segmentación racial de los mercados inmobiliarios, lo cual coincide con altas tasas de pobreza de grupos étnicos específicos que se concentra geográficamente (Gross, Massey y Shibuya, 1994: 426-428 y las referencias allí dentro). Estas hipótesis son complementarias y fueron desarrolladas para explicar la segregación en ciudades de los Estados Unidos de Norte América, donde dichas hipótesis han sido puestas a prueba. En el caso latinoamericano, los factores raciales y socioculturales tienen un rol menos relevante, haciendo posible la construcción de un modelo explicativo basado solamente en los factores socioeconómicos.

Tomando en cuenta que “no son meras confluencias entre productores y consumidores cuyas relaciones están ordenadas por leyes interpersonales de oferta-demanda” (Logan y Molotch, 1987: 1), se pueden formular reglas socioeconómicas como mecanismos de mercado. El mercado inmobiliario está formado por dos tipos de agentes: residentes interesados en el valor de uso de la vivienda y los empresarios interesados en el valor de intercambio de la tierra. Existe un conflicto natural entre estas dos valoraciones de la tierra.

Existe también un conjunto de factores estructurales que son relevantes en la dinámica del mercado inmobiliario:

La industria de la construcción.

Las políticas gubernamentales acerca de los usos de suelo.

La estructura de la propiedad de la tierra.

La estructura espacial de la ciudad, esto es, la locación de las áreas de trabajo, de comercio y residenciales.

La estructura de ingresos de la sociedad.

Ésta última ha sido considerada como la más significativa para el fenómeno de la segregación residencial. De hecho, la teoría de la economía urbana explica la formación de ciudades segregadas a través de dos argumentos principales. El primero establece que una población de hogares con ingresos heterogéneos compitiendo por la ocupación de lotes urbanos tradicionalmente resulta en una estratificación del espacio urbano de acuerdo a la distancia del centro de la ciudad (Alonso, 1964). La segunda liga la concentración de hogares con ingresos bajos en algunas áreas con la existencia de externalidades locales como la etnicidad. Como una consecuencia de esto, existen preferencias de los residentes a vivir en vecindades relativamente homogéneas en cuanto a su nivel de ingreso o similaridad étnica (Benabou, 1993, Borjas, 1995; Schelling, 1978).

Dos niveles de análisis deben ser considerados en el estudio de la segregación residencial. En el macro nivel, varias transformaciones estructurales en la sociedad, tales como cambios en los niveles de ingreso, la tendencia a la exclusión racial y los niveles de integración social, son asumidas para determinar la concentración espacial de la pobreza. Este es el nivel de análisis en (Cloutier, 1982; Gross, Massey y Shibuya, 1994; Jargowsky, 1996; Massey y Fisher, 2000). En el nivel micro, comportamientos individuales específicamente discriminatorios, relacionados con las características de los individuos, tales como el sexo, la edad, la religión, el grupo étnico, la nacionalidad, etcétera, influyen en la elección del lugar para vivir. Este es el punto de vista en los trabajos de (Clark, 1991; Benenson, Portugali y Omer, 1997; Portugali, 2000; Schelling, 1969, 1971, 1978) y es el que adoptaremos en este trabajo.

4.2. LA DIMENSIÓN ECONÓMICA
DE LA SEGREGACIÓN

Como se ha visto en la sección anterior existen varias dimensiones para el estudio de la segregación residencial. En esta sección se enfocará la atención en el trabajo teórico que liga la segregación con el estatus económico.

4.2.1. La explicación de la oferta

De acuerdo a Meen et al. (2005: 21) los dos elementos clave para entender el proceso que afecta la generación de segregación residencial, son el funcionamiento de los mercados inmobiliarios locales y aquellos factores que afectan la decisión de migrar de las familias, esto es, cómo las dinámicas del mercado cambian la estructura de las vecindades. El mecanismo subyacente en estos procesos es la filtración (Yates y Wood, 2005).

La idea detrás de la filtración es, que en una ciudad, las familias con mayor ingreso o riqueza tienden a moverse hacia desarrollos inmobiliarios más convenientes, los cuales son frecuentemente construidos en los suburbios de la ciudad. De acuerdo a Yates y Wood (2005: S84), existen tres mecanismos de filtración: el ingreso, el precio y la calidad.

La filtración por ingreso, está basada en cambios en el ingreso de las familias que viven en el área residencial de una ciudad. De hecho, la filtración por ingreso es un factor causal que contribuye a los procesos de filtración por precio y calidad. Este tipo de procesos no está relacionado con la oferta sino con la demanda.

El filtrado por precio ocurre cuando las características físicas de la vivienda no son cambiadas, sino que los cambios en la oferta y la demanda resultan en presiones a la alza o a la baja sobre los valores del suelo. Esto puede resultar un cambio en el precio real de una casa en particular, o en sus precios relativos dependiendo de si estas presiones son locales o extendidas a toda la ciudad (Yates y Wood: S84). En una situación de filtrado a la alza, la vecindad completa está declinando porque su población está cambiando conforme personas de bajos ingresos se mueven hacia dicho sector y algunas personas de altos ingresos dejan el sector, causando una mayor heterogeneidad. En esta situación, los valores inmobiliarios son inestables y la densidad de población se incrementa. En el filtrado a la baja, el sector declina porque muchas personas de altos ingresos mueven su residencia y la población remanente llega rápidamente a ser homogéneamente de clase baja. Los valores inmobiliarios van a la baja mientras que la densidad poblacional decrece (Kennedy, 2002: 72).

El filtrado por calidad está basado en los cambios en la cantidad de servicios ofrecidos por una unidad residencial dada. Este tipo de filtrado ocurre cuando los servicios ofrecidos por las unidades inmobiliarias decrecen debido al deterioro físico, o bien, se incrementa gracias a que la unidad inmobiliaria es remozada y actualizada. Ambos fenómenos han sido identificados en la literatura como deterioro y gentifricación, respectivamente. Estos procesos están influidos por las decisiones de los dueños de los inmuebles, las cuales son afectadas por la existencia de procesos de filtrado por precios y tienden a ser acumulativas (Yates y Wood, 2005: S84).

Durante los procesos de gentrificación, el sector es rápidamente mejorado con el arribo de nuevas personas con altos niveles de ingreso. Los nuevos dueños y los preexistentes tienden a rehabilitar las estructuras existentes, y las personas de bajos ingresos son desplazadas o deben pagar los incrementos en las rentas. Los comercios y propiedades industriales de bajo rendimiento, son convertidos en áreas residenciales de altos ingresos. El sector comienza a ser homogéneo con respecto a los altos ingresos. En respuesta a este proceso, los valores inmobiliarios se incrementan y la densidad poblacional decrece (Kennedy, 2002: 73).

Es posible entender el proceso en forma gráfica (figura 4.1). Siguiendo a Goodman (2003: 63-65) sea el índice de calidad (q) el compendio unidimensional del tamaño, y los atributos de amenidades y locación de una casa o departamento. El índice de precios (p) mide el precio por unidad de calidad de la casa pagado por dicha casa o departamento. El índice de precio variará de casa en casa y de departamento en departamento, aún dentro de un mercado inmobiliario local, debido a la segmentación del mercado y varias imperfecciones del mercado. El la actualización del lugar, el sector es mejorado como resultado de nuevas inversiones realizadas por dueños con ingresos medios, sin el desplazamiento de inquilinos de bajos ingresos, junto con nuevas construcciones para personas de altos ingresos. La heterogeneidad se incrementa, junto con los valores de las propiedades y la densidad también crece.

La figura 4.1 muestra una ilustración, donde cada cuadrado A y B representa una casa o departamento. El departamento A es menos caro y con baja calidad que el departamento B. El gasto de un dueño en su casa es el producto de cuanto consumen en su renta (q) y el precio por unidad de calidad (p) que ellos pagan. Un presupuesto fijo para pagar la habitación es consistente con varias combinaciones de q y p. El triángulo en la figura 4.1 define las unidades de casas con combinaciones de q y p que dan todos los tres requerimientos para una casa asequible: estándares mínimos, una rentabilidad mínima, y dentro del constreñimiento de un presupuesto para un inquilino con ingresos moderados.

Figura 4.1. Filtrado por precio y calidad llevan a perder rentabilidad (Yates y Wood: S85).

En esta forma gráfica, el filtrado es representado por el movimiento horizontal sobre el tiempo de unidades de casa individuales. como se observa en la figura 4.1. Las unidades incrementan o decrementan en su calidad, pero no cambian en la rentabilidad de dichas unidades. El movimiento vertical, en contraste, indica un cambio en el precio o rentabilidad del inmueble, pero sin cambios en sus características físicas.

A través de estos dos procesos es posible que ciertos vecindarios tienda a concentrarse a partir de un área mixta a una con población perteneciente a un estrato socioeconómico dado, generando con ello segregación residencial.

4.2.2. La explicación de la demanda

La explicación de la demanda de la segregación residencial, se basa en la propensión de la gente de cambiar de locación en la ciudad, motivada por características familiares y de ingreso. La literatura científica ha identificado las causas más relevantes de este proceso, así como el ingreso y el deseo de vivir cerca de sus conocidos y/o parientes.

Dentro de la explicación de la demanda, los modelos basados en la oferta-renta (bid-rent) explican, de forma teórica, el fenómeno de la segregación residencial basada en el ingreso. Esta teoría está basada en el trabajo de Alonso [citado en, Bull, Balchin y Kieve, 1995:51-55) y depende de conceptos microeconómicos. En esta teoría, los patrones de uso de suelo son determinados por los valores del suelo que están relacionados con los costos de transporte. El modelo supone una estructura de la ciudad de tipo concéntrico, con el distrito central de negocios (CBD: Central Business District) en el centro de la ciudad. Los diferentes usuarios del suelo compiten por el suelo más accesible al CBD. El aumento de dinero que ellos están dispuestos a pagar es llamado oferta-renta (bid-rent). En el modelo cada tipo de actividad urbana tiene su propia función oferta-renta y la combinanción de varias funciones de oferta-renta define el gradiente de renta de la ciudad (véase figura 4.2).

Figura 4.2. Curva oferta-renta para los tres usos de suelo.

En el modelo, el uso de suelo residencial tiene un bajo nivel de oferta-renta con respecto a los usos de suelo relacionados con el comercio al por menor y la industria. De hecho, el uso de suelo residencial es el anillo externo en el modelo. Sin embargo, los sistemas urbanos reales no concuerdan con esta simple organización espacial. Las familias tienen muchas motivaciones para pagar altos precios por un lugar cerca del centro y para pagar altos precios por suelo en los suburbios. Siguiendo el modelo, las familias están distribuidas en la ciudad de acuerdo a su ingreso y la oferta-renta. En esta perspectiva, las familias con altos ingresos tienden a vivir en los suburbios, porque ellas quieren consumir grandes cantidades de suelo para edificar sus viviendas y pueden, además, solventar los altos precios de transportación. Las familias de bajos ingresos tienden a vivir cerca del CBD porque no pueden pagar los altos costos de transportación (véase figura 4.3). La segregación residencial aparece como una consecuencia natural de estas elecciones. Por supuesto, las políticas públicas y el equipamiento urbano público, tal como las escuelas, hospitales públicos, parques y la infraestructura de transporte público, cambia las amenidades de las locaciones generando cambios en las rentas de oferta-renta (King y Mieszkowski, 1973).

Figura 4.3. Curva oferta-renta para familias de altos ingresos y familias de bajos ingresos

Otra aproximación es ofrecida por el modelo de Schelling (1972, 1978), donde la segregación residencial es consecuencia del deseo de vivir entre compañeros, donde el tipo de compañeros puede ser definido por el ingreso, la raza, la nacionalidad, el nivel educacional, las preferencias políticas o la religión. Tal y como se vio en la sección 3.1 del capítulo 3, Schelling explica, usando un tablero de ajedrez, cómo incluso las más tenues preferencias familiares a vivir entre sus compañeros, resultan en una estructura espacial totalmente segregada.

Estos conceptos teóricos han sido tomados e implementados recientemente en estudios empíricos sobre las causas y consecuencias de la segregación residencial a través del desarrollo de técnicas econométricas, específicamente modelos de elección individual, los cuales incorporan la interacción entre los individuos como variable explicativa. Meen y Meen (2003), muestran cómo aplicar este tipo de modelos al análisis del mercado inmobiliario y a la segregación residencial. Dichos autores presentan tres razones de por qué este tipo de modelos resultan de utilidad. La primera se refiere al hecho de que los mercados inmobiliarios son especialmente sensitivos a la existencia de externalidades, tanto en la interacción entre pares y las características del vecindario. La segunda razón es la posibilidad de incluir elementos no lineales, los cuales pueden ser observados en los mercados inmobiliarios. Finalmente, estos modelos permiten al usuario analizar las políticas diseñadas para afectar la interacción entre los individuos, en lugar de considerar solamente los incentivos privados.

4.3. MEDIDAS DE SEGREGACIÓN RESIDENCIAL

En los años recientes, varios modelos concernientes a los mecanismos inherentes a la segregación residencial han sido desarrollados. En estos modelos, el índice de disimilaridad es usado como una medida típica de la segregación. Sin embargo, existen otras formas de medir el fenómeno. De acuerdo con Massey y Denton (1988), la segregación residencial tiene varias dimensiones que pueden ser medidas. Dichas dimensiones son: la uniformidad, la exposición, la concentración, la centralización y el agrupamiento (clustering). El método más importante para medir la uniformidad es la disimilaridad, o índice de disimilaridad, tal y como Massey y Denton (1988) encontraron después de realizar su estudio usando todas las dimensiones. Esta es una cantidad fácil de usar, pero tiene un problema: que es un parámetro global, el cual no toma en cuenta la distribución espacial del fenómeno. Ésta es una limitación que ha sido paliada por los geógrafos, quienes desarrollaron medidas de disimilaridad más finas (Jakubs, 1981; White, 1983) tomando en cuenta la distancia entre el centroide de dos unidades de área como un elemento de su formulación del índice de disimilaridad. En la siguiente sección se discutirá más a fondo este asunto.

4.3.1. Índices tradicionales de disimilaridad.

El índice de disimilaridad D para dos grupos de población fue definido por Sakoda (1981) como:

(4.1)

Donde es el número de personas en la i-ésima área y que pertenecen al j-ésimo grupo, y , son respectivamente la población del grupo 1 y del grupo 2 en el área total de la ciudad.

Una desventaja de esta medida es que ésta puede fallar al ser sensitiva a la distribución espacial de los individuos. Para ejemplificar esto en una situación extrema considere las siguientes dos distribuciones espaciales hipotéticas mostradas en la figura 4.4 y en la 4.5.

Figura 4.4. Distribución concéntrica de los individuos en una ciudad virtual.

Para la distribución, en la figura 4.4 tenemos que cada cuadro representa una casa. También tenemos que 10x10=100 casas. Cada casa es ocupada por un tipo de persona, las cuales están representadas por los colores blanco y gris. Hay veinte personas grises y ochenta personas blancas. El índice de disimilaridad en este caso es:

(4.2)

Dado que en este caso cada “área” contiene solo un tipo de habitante. El valor D=1 corresponde a una ciudad totalmente segregada, pero en este caso se obtiene el mismo valor de D=1 para todas las distribuciones donde las dos poblaciones están presentes. Se esperaría un menor valor de disimilaridad para una distribución como la mostrada en la figura 4.5, pero tomando las áreas tan pequeñas, donde sólo un tipo de población puede aparecer en cada unidad de área, la disimilaridad dará siempre 1. Incluso en un caso menos extremo, cuando un elemento de área puede ser ocupado por dos grupos al mismo tiempo, se pueden encontrar diferentes configuraciones para las cuales intuitivamente asignaríamos diferentes grados de segregación, aunque el valor de D sea el mismo.

Figura 4.5. Distribución aleatoria de individuos en una ciudad virtual.

La otra desventaja del índice D es la dependencia con respecto a la definición de las áreas. De hecho, pueden darse diferentes valores a una distribución espacial dada, solamente cambiando la definición de las áreas. Tomemos por ejemplo la distribución espacial de dos grupos mostrada en la figura 4.6. Esta figura representa la misma distribución que la figura 4.4, con la diferencia de que ahora sólo se tienen cuatro áreas.

Figura 4.6. Distribución concéntrica de agentes divididos en cuatro áreas.

Aquí y . Con estas condiciones el índice de disimilaridad es sorprendentemente igual a cero, lo cual corresponde a una ciudad no segregada. Este valor contrasta con el obtenido previamente, correspondiente a una ciudad totalmente segregada. El valor D = 0, obtenido en este caso, refleja el hecho de que todas las regiones tienen la misma proporción de personas blancas y grises.

Figura 4.7. Distribución aleatoria de agentes divididos en cuatro áreas.

Ahora consideremos la figura 4.7, similar a la figura 4.5, pero teniendo solo cuatro áreas. Aquí y . En este caso se obtiene una D=0.1875. Esto corresponde a un ligero grado de segregación en la ciudad.

Como hemos mencionado, el índice de disimilaridad es sumamente sensible a la definición de las áreas a medir. Ya que en el modelo que se trabajará más adelante no existe la noción de área, sino solamente locaciones individuales y dado que se está interesado en los patrones espaciales que aparecen de la evolución del modelo, se necesita un mejor índice para medir la segregación. Una manera de resolver esto es usando un índice de disimilaridad donde el espacio es explícito. Morrill (citado por Wong, 1993) ha propuesto el siguiente índice:

(4.3)

Dónde, es el valor de la entrada en el renglón i y la columna j en la matriz de conectividad (entre áreas) y y son la proporción de la población en el grupo 1 o el grupo 2 en unidades de área i, j respectivamente. Este índice incluye información sobre las fronteras concerniente a la distribución espacial de la población.

Las figuras 4.4 y 4.5 servirán de ilustración de este nuevo índice, tanto para el primer caso D=0.88889, como para el segundo D(adj)=0.63889. Estos números capturan mejor el cluster espacial de la figura 4.4 y la dispersión de la figura 4.5.

A pesar del hecho de que D(adj) parece ser un buen índice de segregación para escenarios artificiales como los que se consideran en este trabajo, se usará otra medida de segregación espacial basada en una técnica de segmentación de imágenes. La razón principal para hacer esto es que el índice D(adj) está bien adaptado a configuraciones binarias (dos tipos de población), mientras que en este trabajo se tienen tres tipos de individuos en la población.

Otra razón para hacer esto es que se usarán cantidades como la entropía tanto para medir la segregación como la inequidad en el ingreso. Este último concepto es materia de discusión en la siguiente sección.

4.4. LA INEQUIDAD EN EL INGRESO:
CUESTIONES TEÓRICAS Y MEDIDAS

La inequidad económica se refiere a disparidades en la distribución de los activos económicos e ingresos en una sociedad específica. Es un fenómeno económico normal a todas las sociedades y es posible el estudiarlo de dos formas. Por un lado, la aproximación positiva cuyo objetivo es describir el fenómeno, desarrollando técnicas para medirlo. En esta aproximación se investigan las posibles correlaciones entre la inequidad económica y otros fenómenos socioeconómicos. Por otro lado, está la aproximación normativa la cual usa un concepto explícito de bienestar social para desarrollar juicios de valor respecto al fenómeno (García, 1986: 14-15).

Existen muchas explicaciones acerca de la inequidad económica de una sociedad. Ésta puede relacionarse a aspectos puramente económicos como el mercado laboral o el patrón de desarrollo económico; o bien puede relacionarse a la justicia social y la discriminación respecto a la raza, el género y los prejuicios culturales. En los siguientes párrafos se profundizará en la explicación de la inequidad basados en los conceptos del mercado del trabajo y en las explicaciones respecto a los prejuicios de género, étnicos y culturales.

La explicación de la inequidad en el ingreso relacionada al mercado de trabajo, está basada en la suposición de la ley de la oferta y la demanda. Aquí, la inequidad es causada por diferencias en la oferta y la demanda para diferentes tipos de trabajos. Los puestos de trabajo con pocas vacantes y con una gran oferta de posibles trabajadores tienden a pagar bajos salarios. Los puestos de trabajo que requieren bajos niveles de habilidades son un buen ejemplo de lo anterior. En contraste, los puestos de trabajo con muchas vacantes pero con bajo nivel de oferta laboral tienden a pagar salarios altos. Este fenómeno ocurre en regiones donde es baja la densidad de trabajadores capacitados. En todos los casos, el resultado final entre las interacciones entre oferta y demanda es el alza de sectores de la población diferenciados por niveles salariales, lo cual se interpreta como una inequidad en el ingreso dentro de la sociedad.

Por supuesto, el párrafo anterior explica un mecanismo económico muy simple. La verdad del mercado laboral es mucho más compleja en el mundo globalizado. Por ejemplo, un sector de trabajadores altamente calificados pueden ver como sus salarios decrecen porque la industria está usando trabajadores importados que aceptan bajos salarios. Éste es el caso de muchas industrias en países desarrollados que usan el outsourcing de compañías situadas en países en desarrollo.

Con respecto a la explicación de la inequidad debida a prejuicios de género, étnicos, religiosos y culturales, la idea básica es que todas las sociedades tienen tendencias a algún tratamiento injusto de algunos de sus miembros con respecto al género, la etnicidad, la religión y la cultura. Como consecuencia de este tratamiento injusto, algunos miembros de la sociedad tienen bajos salarios con respecto a otros miembros que tienen el mismo tipo de trabajo. En otros casos, el tratamiento injusto lleva a una situación en la cual los miembros de un grupo social tienen un acceso restringido a puestos de trabajo altamente remunerados, independientemente de qué tan calificados sean dichos individuos. De hecho, en muchas sociedades, los individuos pertenecientes a cierto grupo étnico tienden a ser más pobres.

4.4.1. Medidas de inequidad

Existen varias medidas de inequidad. En esta sección se revisarán algunas de las más importantes de acuerdo a Allison (1978).

Sea N el número de personas de una población. Cada persona recibe un ingreso anual xi con i= 1, 2, …, N. El problema es definir una medida que caracterice la secuencia en términos de la inequidad. Una de las características principales que dicha medida debería tener es que ésta debe ser cero cuando todos los individuos tiene ingresos idénticos y debe tener un valor positivo cuando dos o más individuos difieren entre ellos. La invariancia de escala es otro criterio usado en las medidas de inequidad. Esto requiere que el multiplicar cada ingreso individual por una constante, deje el grado de inequidad sin cambios. Muchas medidas de dispersión pueden convertirse en una medida de escala invariante que mida la inequidad, dividiendo dichas medidas por la media o alguna otra función de la media.

Uno de las más simples medidas de inequidad es el coeficiente de variación V, el cual es la desviación estándar dividida por la media:

(4.4)

De forma similar es definida la desviación media relativa o coeficiente de Schutz (1951).

(4.5)

donde .

4.4.1.1. COEFICIENTE DE GINI

El índice de Gini es uno de los indicadores más comúnmente usados de inequidad. El índice de Gini puede ser definido en términos de la curva de Lorenz, la cual grafica la participación acumulada del total de los ingresos ganados por los habitantes, ordenados de menor a mayor. En una forma más cuantitativa, el índice de Gini es la diferencia relativa media (Allison, 1978; García, 1986: 84).

(4.6)

4.4.1.2. LA ENTROPÍA DE THEIL

Basado en la teoría de la información, Theil propuso una medida de inequidad, la cual se usará en los capítulos siguientes. Sea N el número de personas en la población, xi es el ingreso de un jefe de familia i y el vector de distribución del ingreso para la población. El ingreso total de la población es . La entropía de Theil es definida como:

(4.7)

Si el ingreso medio es definido como , entonces la Entropía de Theil puede ser escrita como:

(4.8)

Este último índice, con algunas modificaciones para considerar la porción de la población dentro de un rango de ingreso, será la medida de inequidad usada en este trabajo (véase capítulo 5).

CAPÍTULO 5

UN MODELO ESPACIALMENTE
EXTENDIDO DE SEGREGACIÓN URBANA

5.1. ESTRUCTURA DEL MODELO

El modelo está inspirado en los trabajos de Schelling (1969, 1971); Benenson, Portugali y Omer (1997). Como en el modelo de Benenson, Portugali y Omer, la infraestructura física de la “ciudad artificial” es modelada por un enrejado bidimensional de tamaño finito Un vector de enteros bidimensional representa las coordenadas espaciales. A cada paso, el precio de la casa en la ubicación es un número positivo real, originalmente en el intervalo [0,1]. Cada casa es ocupada por un agente quien puede ser distinguido solamente por su estatus socioeconómico. Se cuantifica dicho estatus socioeconómico con un número real tomando uno de tres valores posibles, p < m < r (que significa pobre, clase media y rico, respectivamente) en el intervalo [0,1]. Las casas son idénticas en sus características pero diferenciables por sus precios.

Existen dos mecanismos principales que establecen la dinámica de los precios de las casas: la influencia del vecindario y el estatus socioeconómico del inquilino. Por otro lado, los agentes pueden cambiar de posición sujetos a la disponibilidad de casas, bajo la presión de su situación de vivienda. Los agentes se pueden mover dentro de la ciudad para alcanzar un apareamiento óptimo entre el estatus socioeconómico y el precio de la casa que habita. Los agentes tratan de vivir en casas con precios acordes a su estatus socioeconómico.

En el tiempo t, los precios de las casas son codificados en una matriz n × n, ,mientras que la distribución espacial de los agentes es guardada en una matriz n×n, , con algunos valores en Esto significa que al tiempo t, el valor de la casa en la ubicación es y el estatus del agente que vive en dicha casa es cuantificado por el número , el cual en los experimentos realizados en este trabajo toma los valores de r =1, m = ½, p =1/10. El precio de la casa en la ubicación evoluciona del tiempo t al tiempo t+1, de acuerdo a:

(5.1)

donde, es la vecindad cuadrada de radio 2 centrada en . Si está localizado lejos de las fronteras del enrejado, = 25. La cardinalidad disminuye conforme se acerca a la frontera del enrejado. El parámetro pesa la influencia del precio medio sobre la vecindad sobre el precio de la casa y puede ser entendido como un parámetro inflacionario. A mayor mayor el valor de la media asintótica de las casas en la ciudad.

Después de actualizar los valores de las casas, los agentes son relocalizados de acuerdo a la siguiente regla. Se seleccionan aleatoriamente dos ubicaciones y y se trata de intercambiar las posiciones de los agentes. Esto correspondería a remplazar por y viceversa. En función de decidir si la reubicación se lleva a cabo, se compara la nueva distribución de los agentes con la distribución espacial de las casas. Para esto se define:

(5.2)

Esto cuantifica la mejora económica hecha por el intento de cambiar de casa entre los agentes en las ubicaciones y . Nótese que a cada tiempo solo dos agentes son considerados para cambiar de casa. Esta reubicación se hace efectiva solamente si , esto es, si el intercambio da lugar a una mejoría económica para el agente involucrado. Resumiendo, al tiempo t se seleccionan dos ubicaciones y y se actualiza como sigue: para y si entonces y , de otro modo, y .

La mejoría económica hecha por el intercambio de casa lleva a una reducción de la tensión económica:

(5.3)

Los agentes tratan de minimizar la tensión económica generada por la diferencia entre el precio de la casa y el estatus socioeconómico de su inquilino. En el modelo desarrollado en este trabajo esta diferencia juega el mismo papel de la insatisfacción o infelicidad de los agentes en el modelo de Schelling (Pollicot y Weiss, 2001; Schelling, 1969, 1971). Nótese que la evolución de la distribución de agentes en el espacio satisface el principio de exclusión, de acuerdo al cual dos agentes no pueden ocupar la misma ubicación al mismo tiempo.

5.2. HERRAMIENTAS ANALÍTICAS

La curva segregación-inequidad establece la relación entre dos características del sistema, la inequidad y la segregación. La distribución de ingreso puede ser interpretada como un vector de probabilidad. Las proporciones de la población en cada grupo de ingreso deberían ser la probabilidad de que un individuo pertenezca a un grupo de ingreso. Con esta idea, la inequidad en el ingreso puede ser medida usando el índice de inequidad de Theil (1967: 91-96). Adaptando este índice al modelo, se define la inequidad de una distribución A de n × n agentes como sigue:

(5.4)

Donde para p, m, r, es la proporción de agentes de cada grupo de ingreso. La inequidad se define como un indicador de tipo entropía tomando valores en el intervalo [0, log(3)]. La I mínima corresponde al caso donde la población total es igualmente distribuida entre todos los grupos de ingreso y la máxima I es el caso límite de un sólo grupo de ingreso, concentrando el todo de la población. Este caso límite sería obtenido de distribuciones donde un grupo de ingreso incluye a la mayoría de la población.

La otra característica que se necesita para determinar la curva de segregación es la segregación espacial en sí misma. Aunque las medidas de segregación han sido el objeto de estudio de varios trabajos en sociología (véase Massey y Denton, 1988: 283 y las referencias ahí encontradas), es más útil para la aproximación de este trabajo cuantificar la segregación usando el nivel de orden de una distribución espacial dada. La idea es asociar el máximo nivel de orden a una distribución espacial la cual puede ser fácilmente descrita, tal y como un solo cluster o una distribución periódica. Por otro lado, una distribución aleatoria tendría un bajo nivel de orden. Se usará una técnica de segmentación de imágenes, y la descomposición bi-ortogonal, para asociar un grado de desorden (la entropía de descomposición bi-ortogonal) a una distribución espacial dada, la cual la trataremos como una imagen (Lambert et al. 1996: 131), Entonces, para cuantificar la segregación (orden) de la ciudad, se compara la entropía de la descomposición bi-ortogonal de la distribución ordenada con la correspondiente a una distribución aleatoria.

La distribución bi-ortogonal es la generalización bi-dimensional de la transformada de Karhumen-Loève, pero con la ventaja que de ser sensible a cambios en la estructura espacial de la imagen. Para una descomposición bi-ortogonal, se le asocia una entropía que mide la cantidad de información de la imagen (Lambert et al. 1996: 133). La interpretación es que en una imagen ordenada, esto es, en una distribución no homogénea de pixeles que muestran un patrón espacial, existe baja entropía, mientras que una distribución aleatoria de pixeles corresponde una alta entropía.

Considérese una matriz positiva U de n×n, la cual se supone codifica una imagen o una distribución bidimensional. La matriz de covarianza asociada es simétrica y entonces sus eigenvalores son reales y los eigenvectores correspondientes definen una base ortonormal. La descomposición bi-ortogonal permite reescribir la matriz U como:

(5.5)

donde para La contribución de la submatriz es del orden de los eigenvalores correspondientes. La información de la matriz U es concentrada en las submatrices asociadas a los eigenvalores de mayor valor absoluto. Para U positiva, se desecha el eigenvalor , el cual está asociado a un modo espacial homogéneo. Usando la estructura de los eigenvalores de la descomposición ortogonal, se define la información contendida en U como:

(5.6)

donde:

(5.7)

Para una distribución de agentes A, el índice de segregación es:

(5.8)

donde es el valor esperado de con respecto a una distribución aleatoria de agentes en un enrejado n×n dimensional. Se ha encontrado numéricamente que para

5.3. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO DEL MODELO

Para entender el comportamiento asintótico del modelo, se reescriben las ecuaciones 5.1 y 5.2 en forma de matrices:

(5.9)

donde ambas matrices y son consideradas como vectores m×n dimensionales, D es la matriz promedio cuya acción es definida por la ecuación 5.1 y es una matriz de permutación la cual permuta a lo sumo dos coordenadas. Si para las coordenadas se tiene que, entonces es la matriz permutando dichas coordenadas, de otra forma es la matriz identidad.

Después de un número suficientemente largo de iteraciones, dígase T, los agentes alcanzan una distribución espacial A* la cual no puede ser mejorada. A partir de ahí, la distribución de los precios de las casas siguen la evolución afín , tal que:

(5.10)

La distribución a largo plazo de los precios de las casas es por lo tanto , de tal forma que la tensión económica asociada a la distribución asintótica de agentes es:

(5.11)

Debido a la naturaleza no determinística de la evolución del sistema, la distribución asintótica A* no está determinada de forma única por las condiciones iniciales. Sin embargo, tiene que satisfacer el siguiente principio variacional:

(5.12)

donde el mínimo es tomado sobre el conjunto de todos los sitios dobles de permutaciones. Esto es equivalente a decir que asintóticamente ningún cambio en la ubicación puede disminuir la tensión económica.

5.3.1. Crítico.

Para pequeños, una distribución espacial inicial desordenada de agentes permanece sin cambios y el sistema evoluciona siguiendo una ley afín, convergiendo a , . Para cada distribución inicial espacialmente desordenada existe un valor crítico para el cual evoluciona hacia un valor espacialmente organizado. Esta distribución está compuesta por un número relativamente pequeño de clusters, cada uno compuesto de un núcleo de agentes ricos rodeado por agentes de clase media, mientras que los agentes pobres ocupan el espacio que queda entre los clusters. En los experimentos numéricos, los cuales se describen más abajo, se encontró que depende esencialmente de las proporciones de r, m y p en .

Una permutación de dos sitios produce un cambio en la tensión económica:

(5.13)

De acuerdo a la ecuación 5.14, este cambio no hace que la tensión económica decrezca. Para que esto sea así, es necesario que:

(5.14)

Para cada permutación de dos sitios , se puede descomponer como la suma de un vector constante y una fluctuación. Ya que

(5.15)

Y además , entonces la ecuación 5.15 se puede escribir como:

(5.16)

Tomando esto en cuenta, se puede definir como:

(5.17)

Donde el máximo es tomado sobre las permutaciones de dos sitios: Para P intercambiando las coordenadas se tiene que:

(5.18)

5.3.2. Una estimación a priori de

Una razonable buena estimación de puede ser obtenida como sigue. Considérese A* como un campo aleatorio, el teorema del límite central asegura que, con una alta probabilidad , donde:

(5.19)

Aquí, N es el número de sitios en el cálculo de la media local , la cual en este caso es 25. Por lo tanto, con una alta probabilidad:

(5.20)

donde , , , son las proporciones de ricos, clase media y pobres en A*, respectivamente. Al utilizar el límite superior:

(5.21)

obtenemos:

(5.22)

De acuerdo a la ecuación 5.16:

(5.23)

Tomando esto en cuenta, se propone como una estimación para :

(5.24)

5.3.3. Una estimación a priori para en .

Supóngase que A* está compuesto por clusters de tamaño comparable y supóngase también que todos ellos son simétricos con respecto a los ejes de coordenadas, en este caso A* tiene una descomposición por clusters:

(5.25)

donde corresponde la i-ésimo cluster. Los vectores y tienen una forma acampanada con el máximo valor en las coordenadas donde el cluster está localizado. Los vectores se extiende sobre un espacio vectorial de dimensión , por lo cual es una base ortonormal obtenida de a través del proceso de Gram-Schmidt. Usando esta base ortonormal se puede reescribir , donde los vectores son obtenidos de después del cambio de base. Con respecto a esta nueva base, A* puede ser considerada una matriz aleatoria -dimensional. Por lo tanto, y por consiguiente:

(5.26)

Sea la cardinalidad del número menor de agentes, esto es:

(5.27)

Para pequeños valores del índice de inequidad, esto es, para grandes se ha encontrado numéricamente que . Esto es consistente con la distribución de agentes A* formada por clusters, cada cluster conteniendo cerca del mismo número de agentes de la clase menos numerosa. La descomposición correspondiente de clusters sería obtenida de la colección de vectores en forma de campana, como:

(5.28)

En este caso se tienen y . Por consiguiente, para valores bajos del índice de inequidad I, se puede esperar que:

(5.29)

Nótese que no determina el valor de I. Si este valor es suficientemente grande, la variabilidad de dentro de la colección de las distribuciones de agentes con el mismo valor de I, produce una gran dispersión en S*. Por este razón, no es posible definir S* como una función de I; además, no existe una única curva de inequidad-segregación.

CAPÍTULO 6

ESTUDIO DE SIMULACIÓN

Se desarrolló un conjunto de experimentos numéricos en un enrejado n×n, para n=64 (4,096 celdas) y n=128 (16,384 celdas), esto se hizo con el fin de poder mantener tiempos de cálculo razonables. Para el cálculo se utilizaron tres computadoras tipo PC con Windows XP con procesadores Intel Xeon a 2.2 GHz y 2 Gb de RAM. El programa de simulación se escribió en Matlab 7.0. Los tiempos de cálculo fueron en promedio de tres horas por escenario. Se necesitaron cuatro meses para generar los datos necesarios para el estudio estadístico del modelo.

Cada nodo del enrejado representa la ubicación de una casa en nuestra ciudad virtual, donde los agentes y valores de las casas están distribuidos. En el tiempo t, estas distribuciones son codificadas por matrices n×n con entradas en los reales. La matriz de agentes toma solamente tres valores, r=1, m=1/2 y p=1/10, representando el ingreso de los agentes ricos, de clase media y pobres respectivamente. La distribución de los valores de las casas es una matriz positiva la cual, al tiempo t=0 toma valores del intervalo [0,1]. Ambas distribuciones espaciales y evolucionan de forma interrelacionada según las ecuaciones 5.1 y 5.3. Las irregularidades de la distribución de los agentes A, es medida usando el índice de Theil I(A) definido en la ecuación 5.5. Ya que este indicador depende solo de la proporción de agentes ricos, de clase media y pobres, entonces para toda .

Modelando la composición demográfica de una ciudad en un país en desarrollo, se han considerado “escenarios demográficos”. Cada escenario demográfico consiste de un número de pobres, de agentes de clase media y de agentes ricos de tal forma que . Para obtener una curva de inequidad-segregación se han escogido dos distintos conjuntos de parámetros para los escenarios demográficos. Para el primer conjunto , se incrementa desde el valor de la mitad de la población, mientras que la relación se mantiene constante. En este caso se obtiene el conjunto:

(6.1)

Dicho conjunto es llamado regular. El segundo conjunto de escenarios demográficos se obtiene como sigue. Se proporciona el conjunto de todos los escenarios demográficos con la probabilidad de distribución tal que:

(6.2)

Esta es la probabilidad para tres números aleatorios en que es proporcional para las tres poblaciones y . Para cada valor de se escoge el escenario demográfico que maximice entre todos los escenarios demográficos con el índice de inequidad I. De esta forma se obtiene un conjunto de escenarios demográficos, los cuales se les identificará como los más probables.

Para ambos, el conjunto de escenarios regular y el conjunto más probable de escenarios, se han considerado valores de e I igualmente espaciados dentro de una región apropiada del espacio de parámetros. En el caso del conjunto , el mínimo índice de inequidad depende de , mientras que para el conjunto de los más probables escenarios todos los índices de inequidad en [0, log(3)] son posibles. Para el conjunto regular se consideran 10 escenarios demográficos con índices de inequidad:

Y para cada uno de estos valores se toman En el caso del conjunto de los escenarios más probables, se consideraron 9 escenarios demográficos con índices de inequidad y nuevamente para cada uno de los valores se toma Ya que la estimación teórica depende de I, la región de parámetros estudiados no es rectangular. Para cada I y en la región escogida, se desarrollaron 20 experimentos para cada uno de los enrejados, el de 64 × 64 y el de 128 ×128. El propósito de estos experimentos era: 1) determinar y comparar éste con la estimación; 2) calcular el valor del índice de segregación en . Esto permitió dibujar la curva inequidad-segregación.

Figura 6.1. Distribución asintótica de agentes para diferentes valores de en el enrejado 64×64. Aquí y En rojo los agentes ricos, en blanco los agentes de ingresos medios y en azul los agentes pobres.

Cada experimento comienza con distribuciones espaciales , aleatoriamente generadas. Las entradas de fueron siempre tomadas independientemente y uniformemente de una distribución en el intervalo [0,1], mientras que , los agentes determinando un escenario demográfico dado, fueron aleatoriamente distribuidos en los enrejados. Los experimentos consistieron en la iteración de las reglas de evolución, ecuaciones 5.1 y 5.3, hasta que una distribución estacionaria era alcanzada. En la figura 6.1 se muestran las distribuciones asintóticas de agentes en , obtenidas de la misma distribución inicial , pero usando cuatros diferentes valores de . Nótese cómo la distribución asintótica adquiere una estructura regular conforme se incrementa .

Figura 6.2. Evolución del índice de segregación . Se muestran dos experimentos en el enrejado de 64×64, para una distribución de agentes con índice de inequidad I=0.5 y . La línea horizontal en verde corresponde a , la línea en azul fue calculada con y la línea en rojo fue obtenida usando .

Para determinar el valor de para una distribución dada de agentes , se calcula la evolución de la entropía de la descomposición bi-ortogonal considerando valores crecientes de . Si es pequeña, permanece prácticamente constante a lo largo de la evolución, mientras que para valores suficientemente grandes de , esta entropía experimenta un decrecimiento monótono hasta un tiempo definitivo, el cual se denotará como tiempo de segregación y el cual alcanzará su valor límite. Se ilustra lo anterior en la figura 6.2, donde se muestra para y .

El tiempo de segregación puede considerarse infinito para pequeños valores de y toma valores finitos para . Se determina correspondiendo a una distribución de agentes inicial , calculando para y tomando el menor de estos valores para el cual el tiempo de segregación es mucho menor que el tiempo de convergencia empíricamente determinado. El tiempo T en una distribución inicial que necesita alcanzar la distribución asintótica , se incrementa con y . Sin embargo, para el enrejado de de 64×64 y , este tiempo nunca excede las 1,200 iteraciones en las simulaciones. Para el enrejado de 128×128, este tiempo de convergencia en fue siempre menor que 2 000 y nunca excedió las 3 200 iteraciones para los otros valores de . El tiempo de convergencia T parece incrementar en proporción a , donde n es el tamaño del enrejado.

En la figura 6.3 se muestra el comportamiento de conforme el índice de inequidad cambia, para el conjunto regular en el enrejado 64×64 y se compara éste con el comportamiento con el calculado a priori. Todos los cálculos presentados aquí corresponden a , pero el comportamiento observado para otros valores de es cualitativamente el mismo. En la figura 6.4 se visualiza la misma comparación para el enrejado 128×128.

Figura 6.3. En rojo, con barras de error, como una función del índice de inequidad de Theil, I. En azul , también como una función de I. Ambas curvas corresponden al conjunto regular con en el enrejado 64×64.

Ya que depende solo de la proporción de agentes ricos, de clase media y pobres, éste es independiente del tamaño del enrejado. De acuerdo a los resultados numéricos, la estimación a priori es un límite inferior razonable para . Se debe subrayar que el valor numérico de depende ligeramente de las condiciones iniciales del experimento, por lo tanto se trazan el valor medio de y las correspondientes barras de error.

Figura 6.4. En rojo, con barras de error, , como una función como una función de I. En azul también como una función de I. Ambas curvas corresponden al conjunto regular con en el enrejado 128×128.

Figura 6.5. En rojo, con barras de error, , como una función como una función de I. En azul también como una función de I. Ambas curvas corresponden al conjunto en el enrejado 64×64.

Para el conjunto , se muestra en las figuras 6.5 y 6.6 el comportamiento de como una función del índice de inequidad I, en los casos de los enrejados 64×64 y 128×128, respectivamente. Se compara esto con el comportamiento de calculado a priori. Dado que depende ligeramente de las condiciones iniciales, se muestra con sus correspondientes barras de error. Una vez más, es un adecuado límite inferior del valor real de .

En las figuras 6.7 y 6.8 se grafican respectivamente, los índices de segregación para el conjunto regular como una función del índice de inequidad I, para los casos del enrejado 64×64 y 128×128. Estas son las curvas de inequidad-segregación que el modelo produce. Se comparan estas curvas con el límite superior calculado a priori , con n= 64 y 128, la cual es derivada al final del capítulo 4. En las figuras 6.9 y 6.10 se grafican los mismos datos correspondientes al conjunto de los escenarios demográficos más probables.

Figura 6.6. En rojo con barras de error como una función del índice de inequidad de Theil. En azul, , también como una función de I. Ambas curvas corresponden el conjunto en el enrejado 128×128.

Los resultados numéricos obtenidos muestran que, en el caso del conjunto regular, las predicciones se mantienen para los índices de inequidad en el intervalo Para el conjunto del escenario demográfico más probable, el límite superior a priori se mantiene arriba de I=0.7. El valor exacto de depende de las condiciones iniciales de , por lo tanto se muestran sus valores medios con sus correspondientes barras de error.

Figura 6.7. En rojo, con barras de error, el índice de segregación como una función de I. En azul también como una función de I. Estas curvas de inequidad-segregación corresponden al conjunto , con , en el enrejado 64×64.

Figura 6.8. En rojo la curva de inequidad-segregación. es función de I. Aquí el índice de segregación es graficado con sus barras de error. En azul , también como una función de I. Ambas curvas corresponden al conjunto , con en el enrejado 128×128.

Figura 6.9. En rojo, el índice de segregación , con sus respectivas barras de error, como una función de I. En azul como una función del índice de inequidad de Theil, I. Ambas curvas corresponden al conjunto en el enrejado 64×64.

Figura 6.10. En rojo, el índice de segregación , con sus respectivas barras de error, como una función de I. En azul como una función del índice de inequidad de Theil, I. Ambas curvas corresponden al conjunto en el enrejado 128×128.

RESUMEN Y CONCLUSIONES

El modelo presentado aquí proporciona un mecanismo de formación de patrones espaciales el cual puede ser interpretado en términos de la tesis de Massey, esto es, existe mayor segregación conforme aumenta la inequidad en el ingreso. Este mecanismo tiene en cuenta dos variables socioeconómicas, a saber, la inequidad en el ingreso y la distribución espacial de los individuos. El modelo da prioridad a la correlación entre estas dos variables de tal forma que, es consistente con la curva de inequidad-segregación propuesta por Morrison. Siguiendo el modelo de Schelling, se construyó el modelo sobre reglas simples que gobiernan el intercambio de locación de inquilinos dentro de la ciudad artificial. Se incluyó un parámetro de control, el cual se relaciona con los ajustes de los precios de las casas durante la evolución del modelo, de tal forma que la segregación sólo ocurre para valores suficientemente grandes de este parámetro. Con estas simples características fue posible generar patrones espaciales cuyo grado de orden crece con la inequidad en el ingreso en la ciudad virtual.

Desde el punto de vista de las teorías social y económica, el mecanismo detrás de la migración de los agentes y la función del precio, puede parecer poco realista, sin embargo, dicho mecanismo no fue arbitrariamente diseñado. El mecanismo de intercambio de los agentes es inspirado en la función de felicidad propuesta por Schelling, mientras que la dinámica de los precios de las casas es similar a la propuesta por Portugali y Benenson. En lugar de una teoría sofisticada de formación de precios, se usan reglas simples de interación que constituyen una aceptable primera aproximación a la verdadera dinámica de los precios inmobiliarios.

Aunque el mecanismo de conducción de la migración de los agentes retiene muchas de las ideas del modelo de Schelling, éste difiere en la naturaleza de la decisión del intercambio de ubicación. En el modelo original de Schelling, la decisión está basada en una función de satisfacción que toma en cuenta el número de vecinos del mismo tipo alrededor del agente decisor. En el caso del modelo presentado aquí, un agente decide intercambiar su ubicación de acuerdo a la diferencia entre su ingreso y el precio de su casa. El mecanismo es más adecuado para una sociedad donde las diferencias étnicas son menos determinantes que las diferencias impuestas por el ingreso.

Con respecto a los indicadores que se usaron, el índice de Theil es un ampliamente aceptado índice de inequidad, con la ventaja de que es fácil de calcular y tiene una interpretación directa. El índice de segregación desarrollado para el modelo, nunca ha sido usado en este contexto. Además de este indicador, previamente se trató otro tipo de medidas tipo entropía para medir el nivel de orden en una distribución espacial, así como algunas medidas directas del nivel de aglomeración (clustering). Se escogió la entropía de la descomposición bi-ortogonal porque es casi tan fácil de calcular como el índice de Theil y esta tiene una interpretación natural como la información contenida en una imagen. Se está convencido que otras medidas de segregación comúnmente usadas en la literatura sociológica no son adecuadas para los propósitos de esta investigación, principalmente porque dichas medidas suponen un conocimiento previo de la segmentación espacial de la ciudad. En el caso de este estudio, la organización del espacio urbano es el resultado solamente de la dinámica del intercambio de ubicaciones.

Desde un punto de vista teórico, el modelo es interesante por si mismo. Éste exhibe una transición de fase de tipo desorden-orden a través de la formación de aglomeraciones (clusters) desde mecanismos de intercambio muy simples. También presenta algún comportamiento de escalamiento de tamaño finito, el cual sería pertinente explorar en un trabajo posterior.

Sintetizando, el modelo presentado está constituido de reglas muy simples de intercambio de ubicaciones, basadas en la interacción entre agentes a través de una tensión económica producida por la diferencia entre la capacidad económica de los agentes y los precios de las casas que éstos ocupan. Esto constituye una alternativa al mecanismo de intercambio de ubicación propuesto por Schelling, incluyendo un grado más de libertad, esto es, el parámetro , el cual puede tener una interpretación económica. De esta forma se obtiene un modelo matemáticamente manejable, el cual puede ser modificado en función de incluir características más realistas. En su forma actual, el modelo provee un mecanismo simple capaz de producir segregación residencial de acuerdo a la tesis de Massey, esto es, la segregación es una función creciente de la inequidad. Reformulaciones más realistas del modelo, las cuales podrían incluir ubicaciones (casas) vacantes y agentes en espera de una ubicación vacante serán consideradas en un trabajo futuro.

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